Encontrar una función (?)

Question

He encontrado este ejercicio en uno de mis viejos libros de texto del instituto:

$$\text{If}\ 2f\bigg(\frac{x-2}{x+1}\bigg) +f\bigg(\frac{x+1}{x-2}\bigg) = x$$

Teniendo esto en cuenta, encuentra :

$$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{4}}f(x)dx$$

La verdad es que llevo unos minutos y no encuentro la manera de descifrarlo y me da un poco de vergüenza.

He hecho una pequeña trama para ayudarme a adivinar la función, pero eso no me ha llevado a ninguna parte. Supongo que debemos utilizar el hecho de que $\frac{x-2}{x+1}$ y $\frac{x+1}{x-2}$ son inversas, pero no he conseguido resolver para $f(x)$ .

¿Alguna idea?

Answer 1

Así que, para empezar, puedes demostrar que $g(t) = \frac{-3}{t-1}-1$ es la inversa de $\frac{t-2}{t+1}$ es decir, componiendo uno sobre el otro se obtiene $t$ . Sustituyendo $g(t)$ para $x$ da como resultado $2f(t) + f(\frac{1}{t}) = g(t)$ . Ahora observe que $2f(\frac{1}{t}) + f(t) = g(1/t).$ Así $f(t) + f(\frac{1}{t}) = \frac{g(t) + g(\frac{1}{t})}{3}$ . Pero entonces $$f(t) = \big[2f(t) + f(\frac{1}{t})\big] - \big[f(t) + f(\frac{1}{t})\big] = g(t) - \frac{g(t) + g(\frac{1}{t})}{3} $$

y ahora sabemos que $f(t)$ es una función racional de $t$ que es integrable.

Supongo que hay una forma más elegante de hacerlo que elude la determinación de $f$ explícitamente... pero, esta manera también funciona.

Answer 2

Cambiar $y=\frac{x-2}{x+1}$ uno tiene $x=\frac {y+2}{1-y}$ por lo que la relación pasa a ser $2f(y)+f(\frac1y)=\frac{y+2}{1-y}$ . Desde $x\to\frac1x$ define una involución podemos obtener un sistema lineal en $f(y)$ y $f(\frac1y)$ : $$2f(y)+f(\frac1y)=\frac{y+2}{1-y}$$ $$2f(\frac 1y) + f(y)=\frac {1+2y}{y-1}$$ de lo que se obtiene $$f(y)= \frac{4y+5}{3-3y}$$ Ahora $$\int_{\frac12}^{\frac34}\frac{4y+5}{3-3y}dy= \ln 8-\frac13$$