Cómo mostrar que para cualquier grupo abeliano $G$ $\text{Hom}(\mathbb{Z},G)$ es isomorfo a $G$

Question

¿Cómo demuestro que $\text{Hom}(\mathbb{Z},G)$ y $G$ son isomorfos?

El método sugerido por el libro es definir un mapa $k$: $\text(\mathbb{Z},G) \to G$ $f \to f(1)$.

Yo estoy atascado en cómo exactamente mostrar que es un isomorfismo. ¿Podría alguien arrojar algo de luz en esto? ¿Es $f(1)$ un elemento de G?

(Para aquellos que querían saber, esto no es tarea)

Answer 1

Cualquier homomorphism $f$ $\mathbb{Z}$ $G$está determinado por su valor en 1: hecho $f(n) = f(1)^n$ cualquier $n\in \mathbb{Z}$, ya que el $f$ es un grupo homomorphism (estoy usando la notación multiplicativa para el grupo de operación $G$). Así que es natural considerar el mapa sugerido por el libro: dado $f\in \text{Hom}(\mathbb{Z},G)$, evaluar a la 1: $k:f\mapsto f(1)$. Envía $f$ a un elemento de $G$, es decir,$f(1)$.

Para comprobar que este es un grupo homomorphism, usted necesita entender cómo $\text{Hom}(\mathbb{Z},G)$ es un grupo en el primer lugar. Eso es muy simple: el grupo de operación de pointwise multiplicación: el producto de dos homs $f$ $g$ está dado por $fg(n) = f(n)g(n)$ (para explicar lo $fg$ es que usted necesita para evaluar en una entrada arbitrarios, ya que lo que describes es un homomorphism). Así que ahora, usted no debería tener dificultades para verificar que $k$ respeta la estructura del grupo.