Abelian finito p-Grupo y un elemento de orden máximo

Question

Estoy estudiando para un examen y estoy teniendo problemas para entender la prueba dada por la siguiente declaración:

Supongamos $G$ es de un número finito de abelian $p$- $a \in G$ ha pedido máximo, entonces existe un subgrupo $K \subseteq G$ tal forma que:

$<a>\ast$ $K$ $= G$

$<a> \cap$ $K$ $= \{e\}$

Lo que he escrito parece distinto, así que probablemente se perdió un par de detalles de la conferencia. Podría alguien darme la prueba, o una referencia a una? Para referencia, esta particular prueba comenzó con la elección de $b \in G/<a>$ de un mínimo de orden y demostrando que $<a> \cap <b> = \{e\}$$|b|=p$, pero es que ya ha perdido a mí en ese momento.

Esto fue dado a cerca de la fecha de comienzo del curso: en ese momento, sólo se conocía el teorema del Resto Chino y que, dado un número finito de abelian $G$ tal que $\forall x \in G$, $x^{nm} = e$ con $\operatorname{gcd}(m,n) = 1$, si definimos $G_n = \{x \in G : x^n = e\}$$G_m = \{x \in G : x^m = e\}$, $G \cong G_n \times G_m$

Answer 1

En realidad, quiero escribir un comentario

Si mostró hay un elemento $b$ $G$ % oreder $p$no se encuentra en $<a>$,

Inducción de uso en $|G|$,

$G/<b>$ satisfes la hipótesis y $\bar{a}$ tiene el máximo orden posible en $G/<b>$ desde $<a>\cap <b>=1$. (como $\bar{<a>}\cong <a>/(<a>\cap <b>) $)

Así, $\bar{G}=\bar{<a>}\bar{K}$ tal que $\bar{<a>}\cap \bar{K}=1 $. Usando el teorema de isomorfismo, se puede concluir que el $G=<a>K$ y $<a>\cap K =1$.

Así, paso clave muestra tal $b$ existe, después de usted puede utilizar inducción.