Límite con integral y potencia

Question

Estoy tratando de calcular este límite:

$$\lim_{x\to\infty} \left(\int_0^1 t^{-tx} dt\right)^{\frac1x}$$

Intenté la idea de apretar sin éxito.

Answer 1

Un máximo para $t^{-t}$ en $[0,1]$ se alcanza en $t = e^{-1}.$

Con $0 < t < 1,$ tenemos

$$t^{-tx} = \exp(-t \ln t)^x \leqslant \exp(e^{-1})^x \\ \implies \left(\int_0^1 t^{-tx} \, dt\right)^{1/x} \leqslant \exp(e^{-1}).$$

Utilizando la continuidad, para cualquier pequeño $\epsilon$ hay un intervalo $[e^{-1} - \delta, e^{-1} + \delta] \subset [0,1]$ donde $t^{-t} > \exp(e^{-1}) - \epsilon$ y

$$\left(\int_0^1 t^{-tx} \, dt\right)^{1/x} \geqslant \left(\int_{\exp(e^{-1}) - \delta}^{\exp(e^{-1}) + \delta} t^{-tx} \, dt\right)^{1/x} > (\exp(e^{-1})- \epsilon)(2 \delta)^{1/x}.$$

Desde $(2\delta)^{1/x} \to 1$ como $x \to \infty$ y $\epsilon$ puede ser arbitrariamente pequeño, el teorema de la compresión da como resultado

$$\lim_{x \to \infty}\left(\int_0^1 t^{-tx} \, dt\right)^{1/x} = \exp(e^{-1})$$

Answer 2

Para cualquier gran $x$ tenemos $$\int_{0}^{1}t^{-tx}\,dt = \int_{0}^{1}\exp\left(-x t\log t\right)\,dt = \sum_{n\geq 0}\frac{x^n}{n!}\int_{0}^{1}t^n(-\log t)^n\,dt =\sum_{n\geq 0}\frac{x^n}{n!(n+1)^{n+1}}$$ Si llamamos a esta función completa $f(x)$ el límite deseado es igual a $$\exp\lim_{x\to +\infty}\frac{\log f(x)}{x} \stackrel{dH}{=} \exp\lim_{x\to +\infty}\frac{f'(x)}{f(x)}=\exp\lim_{x\to +\infty}\frac{\int_{0}^{1}(-t\log t)t^{-tx}\,dt}{\int_{0}^{1}t^{-tx}\,dt}$$ es decir $\color{red}{e^{1/e}}$ desde $t^{-tx}$ converge en su distribución a $C\cdot\delta\left(t-\frac{1}{e}\right)$ .