Sólo para elaborar la propuesta de utilización de la información sobre $n = 5671 \equiv 1 \mod {2,3,5,7}$ encontrar un factoration de $5671$:
Supongamos $n = p \cdot q$ para algunos de los factores $p$$q$, e $n \equiv 1 \mod{2,3,5,7}$. ¿Qué nos dice esto? Bien, nos da cuatro ecuaciones en $p$$q$:
\begin{align}
p \cdot q &\equiv 1 \mod 2 \\
p \cdot q &\equiv 1 \mod 3 \\
p \cdot q &\equiv 1 \mod 5 \\
p \cdot q &\equiv 1 \mod 7
\end{align}
Pero desde $2,3,5,7$ son primos, cualquier elemento (sino $0$) tiene una inversa, y así nos dice que:
\begin{align}
q &\equiv p^{-1} \mod 2 \qquad \qquad p,q \not\equiv 0 \mod 2 \\
q &\equiv p^{-1} \mod 3 \qquad \qquad p,q \not\equiv 0 \mod 3 \\
q &\equiv p^{-1} \mod 5 \qquad \qquad p,q \not\equiv 0 \mod 5 \\
q &\equiv p^{-1} \mod 7 \qquad \qquad p,q \not\equiv 0 \mod 7
\end{align}
De hecho, la elección de la $p \mod {2,3,5,7}$ es posible, siempre y cuando ninguno de esos números se $0$, y conduce a un conjunto único de valores de $q \mod{2,3,5,7}$. Pero ya sabíamos que el $p, q \not\equiv 0 \mod {2,3,5,7}$, ya que de lo contrario uno de los números de $2,3,5,7$ sería un divisor de a $n$.
Así, un cortocircuito largo de la historia (TL;DR): Sabiendo que el $5671 \equiv 1 \mod {2,3,5,7}$ no realmente ayudarle a encontrar cualquiera de sus divisores. Lo único que le dice que $2,3,5,7$ no son divisores de $n$.
(Una vez que encuentres $p = 53 \equiv (1,2,3,4) \mod {(2,3,5,7)}$, esto no digo que $q \equiv {(1,2,2,2)} \mod {(2,3,5,7)}$. Pero supongo que una vez que sabes $p$, encontrando $q$ no debería ser demasiado difícil, de todos modos...)
