¿Es un producto de pedido normal de campos libres en un punto de un campo de Wightman?

Question

$:\!\!\hat\phi(x)^2\!\!:$, por ejemplo, construido a partir de la real Klein-Gordon campo cuántico.

Para un Wightman campo, el Wightman función de $\left<0\right|\hat\phi(x)\hat\phi(y)\left|0\right>$ es una distribución, que es ciertamente el caso de la real Klein-Gordon campo cuántico --- llámelo $C(x-y)$ en este caso. En contraste, el valor esperado $\left<0\right|:\!\!\hat\phi(x)^2\!\!:\,:\!\!\hat\phi(y)^2\!\!:\left|0\right>$ es un producto de distribuciones, de hecho, para la real Klein-Gordon campo cuántico es $2C(x-y)^2$, lo que parece hacer esto normal-ordenó producto cuántica de campos no Wightman campo. $C(x-y)^2$ es lo suficientemente bien comportado de apagar la luz de cono, sino en la luz de cono tiene un $[\delta((x-y)^2)]^2$ componente.

Si $:\!\!\hat\phi(x)^2\!\!:$ no es un Wightman campo, entonces es, no obstante, en el Borchers' clase de equivalencia de el campo libre? Si es así, ¿por qué así? Un (matemáticamente claro) cita sería bueno!

Por último, si $:\!\!\hat\phi(x)^2\!\!:$ no está en la Borchers' clase de equivalencia de el campo libre, porque no se trata de una distribución, es, no obstante, empíricamente equivalentes para el campo libre a nivel de la S-matrix observables, como resultó ser el caso de Borchers' de clases de equivalencia (Haag, Local de la Física Cuántica, $\S$ II.5.5), aunque claramente no es empíricamente equivalentes para el campo libre a nivel de Wightman función de características observables?

Mi lectura de la Wightman los campos de la literatura de finales de los años 1950 y 1960, está lejos de ser completa, que puede ser por eso que no he encontrado respuestas claras a estas preguntas.

Answer 1

Si no estoy equivocado el producto está bien definido, debido a que el 2 de punto de función es el valor de límite de una analítica de la función en algunos tubo (ver Streater/Wightman) con ciertos límites. Más genral hay 1-1 correspondencia entre la traducción invariante templado distribuciones que cumplen con el espectro de la condición y funciones analíticas en este mencionado tubo y una manera sencilla de definir el producto de la distribución es el producto de la funciones analíticas que se encuentra en la misma clase y por lo tanto da una bien definida la distribución en el límite.

Realmente es fácil la masa en caso digamos 4D.

$W(x-y) \sim \frac1{(x-y+i\epsilon(x_0-y_0))^2}$

$W^2(x-y) \sim \frac1{(x-y+i\epsilon(x_0-y_0))^4}$ donde los dos puntos de función es el valor de límite de la analítica de la función $1/z^2$.

En 1 dimensión, que significa un quirales de campo en un rayo de luz, es aún más drástica. Allí la Mecha (=normal ordenó a) el cuadrado de la libre fermión es gratis bosón.

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La respuesta a la pregunta "Es normal-ordenó el producto de los campos libres en un punto de un Wightman campo?" es: ¡SÍ!

Para la conveniencia puedo dar una referencia, que es "Principios Generales de la Teoría Cuántica de campos" por Bogolubov, Logunov, Oksak, Todorov (1990) p. 344

Ex. 8.16 Demostrar que la Mecha Monomials satisfacer los Axiomas Wightman

editar Tim: no puedo comentar en tu todavía. Yo no digo que usted puede multiplicar general de distribución que son los valores de límite mediante la multiplicación de la función, sólo para una clase determinada, pero tal vez estaba descuidado porque pensé que esto era lo normal. El $\delta$ no está en esta clase, debido a que no cumplen con un "espectro contion", es decir, la transformada de fourier se admite en algunos convexa de cono con no vacío de doble cono. La transformada de fourier de $\delta(x)$ es constante para no caer en esta clase. Pero las distribuciones que tienen esta propiedad en su transformación de fourier se puede multiplicar: ver el libro de Reed Simon Volumen 2 - página 92 Ex 4.

Espero que mis referencias claras a la confusión.

Answer 2

el verdadero libre bosonic campo cuántico con masa m > 0 es un Wightman campo, porque uno puede definir como un operador de valores de la distribución que satisfaga las de Klein-Gordon ecuación en el sentido de que $ \phi(\Box f + m^2 f) = 0 $ para todas las funciones de prueba de f. El producto $\phi(x) \phi(x)$ es entonces simplemente no se define por razones conocidas (usted no tiene que mirar en el punto dos funciones, ya que el campo en sí no está bien definido). Supongo que usted sabe todo esto, y su pregunta fue si los físicos saben un truco en torno a este problema: que yo sepa no hay tal truco dentro de la Wightman marco.

Con el fin de hacer sentido de este "campo" creo que tendría que dejar el Wightman axiomas y permitir la más grave de las singularidades de dos funciones de punto de la diagonal, que se describen generalmente a través de operador producto de las expansiones.

Adición: Cuando tenemos una representación de una distribución como un valor de límite de una analítica de la función, no es cierto que no siempre se puede definir, por ejemplo, el cuadrado de la distribución como el valor de límite de la plaza de la analítica de la función (si esto iba a funcionar, habríamos encontrado una solución a un problema en el que nuestras matemáticas amigos ya han demostrado que no hay solución, es decir, para definir $\delta^2(x)$). La razón de esto es que en realidad estamos hablando de una clase de equivalencia de funciones analíticas en lugar de uno único de la analítica de la función (equivalencia significa igualar a una analítica de la función que tiene una analítica de la extensión de la frontera). La multiplicación no está bien definido en las clases de equivalencia. Para más detalles, véase la palabra de moda "hiperfunción".