Cómo manipular estas funciones a una identidad que implique la función zeta de Riemann

Question

La identidad que quiero demostrar es la siguiente (del libro de Stein, una introducción al análisis de Fourier):

$$\pi^{-s/2} \Gamma(s/2) \zeta (s)=\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty}t^{\frac{s}{2}-1}(v(t)-1)dt$$

para $s>1$ , donde $v(t)$ es la función theta y $\Gamma(s)$ es la función gamma.

Así que cuando manipulo el LHS de la ecuación obtengo lo siguiente:

$$\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{\frac{s}{2}-1}(\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{\pi^{-s/2}n^s}))dt$$

La cosa es ¿Qué puedo hacer a continuación, y ¿Cómo voy a obtener la parte negativa de la función theta?

¿Puede alguien ayudarme a probar esta identidad por favor?, Muchas gracias de antemano :)

Función Theta:

$$\nu(s)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\pi n^{2}s}$$

Answer 1

Para empezar vamos a escribir (siguiendo el convención de wikipedia ) $$\nu(t):=\vartheta(0,it)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\pi n^2 t }=\sum_{n=-\infty}^{-1}e^{-\pi n^2 t }+1+\sum_{n=1}^{\infty}e^{-\pi n^2 t }=2\sum_{n=1}^{\infty}e^{-\pi n^2 t }+1$$

Por lo tanto: $$I=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}dt \left(\nu(t)-1\right)t^{s/2-1}=\sum_{n=1}^\infty\int_{0}^{\infty}dt e^{-\pi n^2 t }t^{s/2-1}$$

La integral se puede calcular fácilmente en términos de $\Gamma$ -(sustituyendo $\pi n^2 t \rightarrow x$ y utilizar la definición de $\Gamma$ )

y terminamos con

$$I=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s)$$ Q.E.D.