Continuación de la pregunta anterior: ecuación funcional - un poco complicado

Question

Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f[f(x)^2+f(y)]=xf(x)+y$ para todos los números reales $x$ y $y$.

La respuesta a esta pregunta ya ha sido Posteado, pero no explica por qué esta función es inyectiva y sobreyectiva. Realmente te lo agradeceria si alguien lo hizo.

Enlace a esta pregunta: ecuación funcional: un poco complicado

Answer 1

Sobreyectiva porque $f[f(0)^2+f(y)] = y$ para cualquier $y$. En particular, hay un $x_0$, que $f(x_0)=0$ y el uso de $x=x_0$ de la identidad da $f(f(y))=y$, que muestra la inyectabilidad.

Answer 2

De inyectividad y surjectivity siga relativamente resumen de propiedades de la forma de la ecuación.

Inyectividad de la siguiente manera porque para cualquier $x$, la parte izquierda (LHS) es una función de $f(y)$, mientras que el lado derecho (RHS) es una función inyectiva de a $y$.

Surjectivity debido a que el lado derecho es una surjective función de $y$, para cualquier $x$, mientras que el lado izquierdo es $f(...)$.

Por lo tanto los argumentos por escrito en los comentarios debajo de la respuesta que ha llevado a esta pregunta:

(para demostrar surjectivity) ajuste el $y$ así como para golpear a cualquier valor deseado.

La prueba de inyectividad ... es comparar la ecuación funcional por escrito el uso de $(x,y)$ $(x,z)$ como las variables. Si $f(y)=f(z)$ fijos $x$, entonces los lados izquierdos de las ecuaciones son iguales, lo que obliga a $y=z$ observando los lados de la parte derecha.