Conexión y compacidad de una Unión de dos conjuntos

Question

¿Let: $$A=\Big\{ (x,y) \in \mathbb R^2: 0 \le x \le 1, y=\frac{x-1}{n},\, n\in \mathbb N \Big\}$ $ $$B=\Big\{ (x,y) \in \Bbb R^2: 0 \le x \le 1, y=\frac{x}{n},\, n\in \mathbb N \Big\}$ $ $A \cup B$ conectado? ¿Es compacto?

A primera vista la Unión de estos conjuntos parece conectarse pero no compacto, pero lucho probarlo.

He tratado de probar la conexión por que $A \cup B$ no puede ser dividido en dos abierto (cerrado), sistemas separados pero se pierden cuando se trata de hacer una fórmula rígida. ¿Alguien podría ayudarme con ella?

Answer 1

Primero vamos a tratar con la compacidad. Buscando en ciertos puntos en el $x$-eje, vemos que $A\cup B$ no está cerrado en $\mathbb{R}^2$, por lo que no es compacto.

En cuanto a la conectividad, la primera nota que tanto $A$ $B$ están conectados. Si tuviéramos $A\cap B \neq \varnothing$, la conexión de la $A\cup B$ seguiría de que. Pero $A\cap B = \varnothing$, por lo que necesitamos discutir de manera diferente. Sin embargo, podemos escribir

$$A\cup B = A_1 \cup B$$

con un conectada $A_1 \supset A$ tal que $A_1\cap B \neq \varnothing$. A continuación, el hecho general de que la unión de dos conjuntos conectados con intersección no vacía está conectado termina la prueba.

Encontrar un $A_1$, recuerda que si $E$ está conectado, y $E \subset F \subset \overline{E}$, $F$ está conectado.

Así que uno debe buscar en $\overline{A}\cap B$.

Answer 2

Un conjunto está conectado si y solamente si cualquier mapeo de la función continua de este conjunto a $\{0,1\}$ es una función constante. Puesto que son ambos $A, B$ Unión de segmentos de cerrado y conectado en el punto $(1,0)$ y $(0,0)$ respectivamente, una función continua $f:A\cup B \rightarrow \{0,1\}$ debe ser constante en las dos partes. Por continuidad, $f((0, -1/n))\rightarrow f((0,0))$ por lo tanto es constante en $f$ $A\cup B$.