Cómo uno probar eso si $f$ y $g$ son funcionales lineales en $V$ tal que $h=fg$ también es una lineal funcional, entonces cualquier $f=0$ o $g=0?$

Question

Soy auto-estudio de Hoffman y Kunze del libro de Álgebra Lineal. Este es el ejercicio 13 de la página 106.

Deje $\mathbb{F}$ ser un subcampo del campo de los números complejos y deje $V$ ser cualquier espacio vectorial sobre $\mathbb{F}.$ Supongamos que $f$ $g$ son funcionales lineales en $V$ de manera tal que la función de $h$ definido por $h(v)=f(v)g(v)$ también es un funcional lineal en $V$. Demostrar que $f=0$ o $g=0.$

Yo era capaz de mostrar que $h=0$. Por lo tanto,$V=\operatorname {Ker} (f)\cup \operatorname{Ker}(g)$. Estoy asumiendo que $f\neq 0$ y me gustaría mostrar que $\operatorname {Ker} (f)\subset \operatorname {Ker} (g)$, pero yo no era capaz de resolverlo.

Agradecería su ayuda.

Answer 1

Para cualquier $v,w\in V$,\begin{eqnarray} f(v)g(v)+f(w)g(w)&=&h(v)+h(w)=h(v+w)=f(v+w)g(v+w)\\ &=&f(v)g(v)+f(w)g(w)+f(v)g(w)+f(w)g(v). \end{eqnarray} concluimos eso $$ f (v) g (w) + g (c) (v) = 0, \ \ v, w\in V. $$ En particular, $f(v)g(v)=0$ % todos $v\in V$. Ahora que $e_1,\ldots,e_n$ ser una base de $V$. Si $f\ne0$, entonces existe $i$ $f(e_i)\ne0$. Vamos a suponer (sólo por simplicidad notacional) que $i=1$.

Tenemos $0=f(e_1)g(e_1)$, que $g(e_1)=0$. Para cualquier otro $j$, $$ 0=f(e_1)g(e_j)+f(e_j)g(e_1)=f(e_1)g(e_j); $$ $f(e_1)\ne0$, obtenemos que $g(e_j)=0$ % todo $j$, es decir, $g=0$.

Answer 2

Otra manera de completar la historia (utilizando tu punto de partida que $h=0$, y por lo tanto $V=\mathrm{Ker}\,f\cup \mathrm{Ker}\,g$), es demostrar que la unión de dos adecuada de los subespacios de $V$ no puede ser todos los de $V$. Esto es cierto sobre cualquier campo. Aquí es un (relativamente grande) sugerencia de cómo probar esto:

Deje $W,W'$ ser adecuada subespacios de $V$. Si uno está contenido en el otro, su unión no es todo de $V$ debido a que ambos son asumidos adecuada. Si no está contenida en la otra, entonces existe $x$$W$, pero no en $W'$$x'$$W'$, pero no en $W$. ¿Qué se puede decir acerca de la $x+x'$?