¿Cuándo sale el próximo autobús?

Question

Personas llegan a una parada de autobús según un proceso de Poisson a tasa $\lambda$ por minuto. El autobús sale cada minutos de $n$, pero no tienes idea cuando salió el último autobús. Observa que hay $k$ personas esperando en la parada. Dada esta información, ¿Cuándo espera el próximo bus para llegar?

Parte de mí dice que esto es elemental. Pero no puedo pensar en dónde incluso comenzar a resolverlo.

Answer 1

Esta es una buena pregunta, probablemente no es tan simple como suena, voy a darle una oportunidad. Es un Bayesiano problema, al llegar a la parada de autobús, usted no tiene ninguna idea sobre cuando el último autobús del pasado, para su previo sobre la distribución del tiempo transcurrido $X$ desde el autobús el pasado pasado es uniforme en el $[0,n]$. Como usted puede observar el número de personas en la cola, la actualización de su distribución de $X$ para formar una distribución posterior.

Deje $f_X$ ser el pdf de $X$ $N$ la variable aleatoria que describe el número de personas en la cola. El teorema de Bayes establece que: \begin{equation} f_X(t|N=k)=\frac{P(N=k|X=t)}{P(N=k)}f_X(t) \end{equation} $f_X(t)$ corresponde a la previa y por tanto las lecturas $f_X(t)=\frac{1}{n}1_{[0,n]}$; y $P(N|X=t)$ es exponencialmente distribuida con tasa de $\lambda$$P(N=k|X=t)=e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^k}{k!}$.

$P(N=k)$ puede ser obtenido de forma equivalente, utilizando la ley de los totales de la probabilidad o de la observación de que debe ser así, que $\int_{0}^1 f_X(t|N=k)dt=1$. De cualquier manera, obtenemos: \begin{align} I_k:=P(N=k)&=\frac{1}{n}\int_0^n e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^k}{k!}dt\\ &=\frac{1}{n}\left(\left[-\frac{e^{-\lambda t}}{\lambda}\frac{(\lambda t)^k}{k!}\right]_0^n+\int_0^n e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^{k-1}}{(k-1)!}\right)\\ &=-\frac{e^{-\lambda n}(\lambda n)^{k-1}}{k!}+I_{k-1}\\ &=I_0-e^{-\lambda n}\sum_{i=1}^{k-1}\frac{(\lambda n)^{i}}{i!}\\ &=I_0+e^{-\lambda n}-e^{-\lambda n}\sum_{i=0}^{k-1}\frac{(\lambda n)^{i}}{i!} \end{align} Desde $I_0=\frac{1}{\lambda n}(1-e^{-\lambda n})$, obtenemos: \begin{equation} I_k=\frac{1}{\lambda n}\left(1-e^{-\lambda n}\sum_{i=0}^{k-1}\frac{(\lambda n)^{i}}{i!}\right)=\frac{1}{\lambda n}P(N(n)>k) \end{equation} Ahora podemos escribir $f_X(t|N=k)$ como: \begin{equation} f_X(t|N=k)=\frac{\lambda}{P(N(n)>k)}e^{-\lambda n}\frac{(\lambda t)^k}{k!}1_{[0,n]} \end{equation}

Podemos ahora calcular la espera del tiempo transcurrido desde el último autobús pasado: \begin{align} E[X|N=k]&=\int_0^n t f_X(t|N=k)dt\\ &=\frac{1}{P(N(n)>k)} \int_0^n e^{-\lambda n}\frac{(\lambda t)^{k+1}}{k!}dt\\ &=\frac{(k+1)}{P(N(n)>k)} \int_0^n e^{-\lambda n}\frac{(\lambda t)^{k+1}}{(k+1)!}dt \end{align} Podemos observar que la integral en la última igualdad es igual a $nI_{k+1}=\frac{1}{\lambda}P(N(n)>k+1)$, de donde:

\begin{equation} E[X|N=k]=\frac{k+1}{\lambda}\frac{P(N(n)>k+1)}{P(N(n)>k)} \end{equation}

El tiempo de espera estimado es el dado por $n-E[X|N=k]$.

Como una ilustración, he dejado a $n=20$ minutos y $\lambda=3$ personas/min y se obtiene el siguiente gráfico, que parece tener mucho sentido

Answer 2

Que $X$ ser el tiempo (en minutos) desde el último autobús a la izquierda. Creo que necesita asumir que $X$ se distribuye uniformemente en $\{1,...,n \}$. Sabemos que $N$, el número de personas que esperaban al llegar a la parada de autobús, tiene distribución de Poisson $\mathcal P(\lambda X)$. Así que lo que desea calcular es $$ \mathbb E(n - X \vert N = k) = n - \sum_{j=1}^n \ j \ \mathbb P(X = j \vert N = k). $ $