Lo siento por la vaguedad del título, no podía pensar en una mejor manera de decirlo. Yo sólo quería correr un par de preguntas simples pasado SE a revisar mi razonamiento es correcto, etc.
Encontrar una permutación $\alpha \in S_7$ tal que $\alpha^4 = (2143567)$
Desde cualquier permutación se puede expresar como un producto de ciclos disjuntos, $\alpha$ no puede estar compuesto de cualquier discontinuo transposiciones como, a continuación, $\alpha^4$ mapas de los elementos de la transposición de nuevo a sí mismo. $\alpha$ no tiene ningún discontinuo $3$-ciclos, $p_i$ entonces $p_i^4 = p_i$. Podemos argumentar como este para ver que $\alpha$ debe ser un $7$-ciclo. Así que desde $\alpha^4 = (2143567)$ $\alpha$ hay otros tres elementos entre los elementos consecutivos en $\alpha^4$. Así, entre los elementos $2$ $1$ $\alpha$ hay $3$ otros elementos, entre los $1 $ $4$ $\alpha$ hay $3$ otros elementos, no es sólo uno de esos permutación y
$\alpha = (1362457)$
Claramente podemos escribir $\alpha = (3624571)$, lo que satisface la condición anterior, pero esta es idéntico permutación. Por lo tanto, $\alpha = (1362457)$ y es único.
Encontrar todos los permutación $\alpha \in S_7$ tal que $\alpha^3 = (1234)$
Claramente, no es más que uno de esos permutación como $\alpha$ $4$- ciclo con elementos $1,2,3,4$ o $\alpha$ $4$- ciclo de los elementos $1,2,3,4$ $3$- ciclo de los elementos $5,6,7$.
$\alpha$ no puede ser un producto de cualquier discontinuo transposiciones como $(ij)^3 = (ij)$. También se $\alpha$ no tiene ningún discontinuo $k$-ciclos donde $k\geq4$ ya que no sería la misma longitud de ciclo en $\alpha^3$.
Así pues, una posible permutación es $\alpha_1 = (1432)$
No hay otras posibles permutaciones compone de sólo uno de los $4$ciclo de razones descritas en la pregunta anterior. Ahora, hay $2$ formas posibles de organizar los elementos $5,6,7$ $3$- ciclo, $(567)$$(576)$, por lo que dos permutaciones son
$\alpha_2 = (1432)(567)$ $\alpha_3 = (1432)(576)$
Son en total $3$ permutaciones que satisfacer $\alpha^3 = (1234)$
Si hay algún error con esto, o si hay un método mejor para agotar las posibilidades, agradecería su opinión. Gracias.
