He aquí una heurística muy aproximada: Dejemos que $S(x)$ denotan la suma
$$ S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n/n!}{\sum_{j=0}^{n} x^j / j!} \cdot \frac{1}{x}. $$
Utilizando el factorial descendente $(n)_k := n(n-1)\cdots(n-k+1) = n!/(n-k)!$ podemos reescribir $S(x)$ como
$$ S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \sum_{k=0}^{n} \frac{(n)_k}{x^k} \right)^{-1} \frac{1}{x}. $$
En cuanto a $S(x)$ como una especie de suma de Riemann, $S(x)$ se aproxima a la integral
$$ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+t+t^2+\cdots} \, dt = \int_{0}^{1} (1-t) \, dt = \frac{1}{2}. $$
Esto explica por qué esperamos el límite como $1/2$ . Convertir este argumento en una forma más rigurosa no es tan difícil. De hecho, lo probamos demostrando que tanto limsup como liminf son iguales a $1/2$ .
Estimación de Liminf. Dejemos que $a \in (0, 1)$ . Entonces para $n < x$ tenemos
$$ \sum_{k=0}^{n} \frac{(n)_k}{x^k} \leq \sum_{k=0}^{n} \left( \frac{n}{x} \right)^k \leq \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{n}{x} \right)^k = \left(1 - \frac{n}{x}\right)^{-1} $$
y por lo tanto
$$ S(x) \geq \sum_{n \leq a x} \left( \sum_{k=0}^{n} \frac{(n)_k}{x^k} \right)^{-1} \geq \sum_{n \leq a x} \left( 1 - \frac{n}{x} \right) \frac{1}{x}. $$
Este límite inferior es una suma de Riemann, por lo que tomar limsup como $x \to \infty$ produce
$$ \liminf_{x\to\infty} S(x) \geq \int_{0}^{a} (1 - t) \, dt. $$
Como el LHS no depende de $a$ , tomando $a \uparrow 1$ da
$$ \liminf_{x\to\infty} S(x) \geq \frac{1}{2}. $$
Estimación de Limsup. Dejemos que $b > 1$ y $X \sim \operatorname{Poisson}(x)$ . Entonces, por la ley de los grandes números, vemos fácilmente que $\Bbb{P}(X \leq bx) \to 1$ como $x \to \infty$ . Así que tenemos
\begin {align*} \sum_ {n > bx} \frac {x^n/n!}{ \sum_ {j=0}^{n} x^j / j!} \cdot \frac {1}{x} &= \frac {1}{x} \sum_ {n > bx} \frac { \Bbb {P}(X = n)}{ \Bbb {P}(X \leq n)} \\ & \leq \frac {1}{x} \frac { \Bbb {P}(X > bx)}{ \Bbb {P}(X \leq bx)} \\ & \longrightarrow 0 \quad \text {como } x \to \infty. \end {align*}
Esta observación nos permite truncar la suma sin afectar al limsup. Ahora dejemos que $N$ sea cualquier número entero positivo. Entonces, centrándonos en los sumandos $n$ en la región $ N \leq n \leq bx$ obtenemos
\begin {align*} S(x) &= \sum_ {N \leq n \leq bx} \left ( \sum_ {k=0}^{n} \frac {(n)_k}{x^k} \right )^{-1} \frac {1}{x} + o(1) \\ & \leq \sum_ {N \leq n \leq bx} \left ( \sum_ {k=0}^{N} \frac {(n)_k}{x^k} \right )^{-1} \frac {1}{x} + o(1). \end {align*}
Este límite superior es de nuevo una suma de Riemann. Tomando limsup como $x \to \infty$ obtenemos
$$ \limsup_{x\to\infty} S(x) \leq \int_{0}^{b} \frac{dt}{1 + t + \cdots + t^N}. $$
De nuevo, ya que $b$ y $N$ son independientes del LHS, tomando $b \downarrow 1$ y $N \to \infty$ da
$$ \limsup_{x\to\infty} S(x) \leq \int_{0}^{1} \frac{dt}{1 + t + \cdots} = \frac{1}{2}.$$
Por lo tanto, la conclusión es la siguiente.
