Algebraico y extensión de Galois es un campo de partir de algún conjunto.

Question

Esto es tomado de el libro de Álgebra por Thomas W. Hungerford ;

Teorema. Deje $K$ ser una extensión de $F$. Los siguientes son equivalentes:

1. $K$ es algebraica y de Galois sobre $F$.
2. $K$ es separable sobre $F$ $K$ es una división de campo de más de $F$ de un conjunto $S$ de los polinomios en la $F[x]$.
3. $K$ es la división de campo de más de $F$ de un conjunto $T$ separables de polinomios en $F[x]$.

Prueba. (1)$\implies$(2),(3) Deje $u\in K$ y deje $f(x)\in F[x]$ ser el monic polinomio irreducible de $u$. Deje $u=u_1,\ldots,u_r$ ser las distintas raíces de $f$$K$; a continuación,$r\leq n=\deg(f)$. Si $\tau\in\mathrm{Aut}_F(K)$, $\tau$ permutes la $u_i$. De modo que los coeficientes del polinomio $g(x) = (x-u_1)(x-u_2)\cdots(x-u_r)$ se fija por todos los $\tau\in\mathrm{Aut}_F(K)$, y por lo tanto $g(x)\in F[x]$ (debido a que la extensión es de Galois, por lo que el campo fijo de $\mathrm{Aut}_F(K)$$F$). Desde $u$ es una raíz de $g$,$f(x)|g(x)$. Por lo tanto, $n=\deg(f)\leq \deg(g) = r \leq n$, lo $\deg(g)=n$. Por lo tanto, $f$ $n$ distintas raíces en $K$, lo $u$ es separable sobre $F$. Ahora vamos a $\{u_i\}_{i\in I}$ ser una base para $K$$F$; para cada una de las $i\in I$ deje $f_i\in F[x]$ ser el monic irreductible de $u_i$. A continuación, $K$ es la división de campo de más de $F$$S=\{f_i\}_{i\in I}$, y cada una de las $f_i$ es separable. Esto establece (2) y (3).

Lo que yo no entiendo es por qué $K$ es la división de campo de la $S=\{f_i\}_{i\in I}$. En orden a $K$ a la división de campo de dicho conjunto, $K$ tiene que ser igual a $F(X)$ (según la definición del libro) donde $X = \{v | v$ es una raíz de $f_i$ $i \in I\} $

Puede verse fácilmente que el $F(X) \subseteq K$. ¿Cómo puedo mostrar el otro lado?

Answer 1

$F \subseteq F(X)$, Es suficiente para ver, que todas las $u_i$ $F(X)$. Pero una raíz de $u_i$, así $f_i$ $u_i \in F(X)$. $$K = F((u_i)_{i\in I}) \subseteq F(X)$$