Cómo probar que $ \lim\limits_ {n \to\infty } \frac {n!}{n^2}$ se desvían hasta el infinito?

Question

$ \lim\limits_ {n \to\infty } \dfrac {n!}{n^2} \rightarrow \lim\limits_ {n \to\infty } \dfrac { \left (n-1 \right )!}{n}$

Puedo entender que esto irá al infinito porque el numerador crece más rápido.

Estoy tratando de aplicar la regla de L'Hôpital a esto; sin embargo, no he podido averiguar cómo tomar el derivado de $ \left (n-1 \right )!$

Entonces, ¿cómo se toma el derivado de un factorial?

Answer 1

¡podrías introducir la función gamma!

Sólo es una broma, ya que $n!>n^3$ para $n>100$ sabes que $$ \frac {n!}{n^2} > \frac {n^3}{n^2}=n$$

Answer 2

Dominic Michaelis es la respuesta "correcta" para un problema tan simple. Esto es solo para demostrar un truco que a menudo es útil para mostrar los límites que se van a $ \infty $ . Considere $$ \sum_ {n=1}^{ \infty } \frac {n^2}{n!}$$ Por la prueba de proporción esto converge. Así que los términos $ \frac {n^2}{n!} \to 0$ .

Answer 3

Fíjate que la regla de L'Hopital es un teorema que se aplica a las funciones continuas, así que si quieres aplicar la regla de L'Hopital a una secuencia tendrás que invocar algo como el Teorema de Stolz-Cesàro a menos que quieras empezar a invocar derivados logarítmicos y las constantes de Euler Mascheroni, etc...

Un método más fácil es aplicar el equivalente de secuencia de La prueba de proporción de D'Alembert (Teorema V P147) sin necesidad de recurrir a ningún argumento de la serie, algo que generaliza el "truco" de Puzzled. Si está dispuesto a aceptar la declaración y la prueba que se da en el enlace, entonces el siguiente argumento debería ser suficiente:

$ \underset {n \rightarrow \infty }{ \lim } \frac {f(n+1)}{f(n)} = \underset {n \rightarrow \infty }{ \lim } \frac { \frac {(n+1)!}{(n+1)^2}}{ \frac {n!}{n^2}} = \underset {n \rightarrow \infty }{ \lim } \frac {(n+1)!}{(n+1)^2} \frac {n^2}{n!} = \underset {n \rightarrow \infty }{ \lim } \frac {(n+1)n^2}{(n+1)^2} = \underset {n \rightarrow \infty }{ \lim } \frac {n^2}{(n+1)} = \infty $

Así vemos que la secuencia diverge.

Answer 4

$ \dfrac {n!}{n^2}=(1- \frac 1n)(n-2)!$ Tomando un límite, encontramos que se desvía. Si realmente quieres usar L'Hospital, tendrás que usar la función gamma. Tenga en cuenta que esto es muy molesto.