Sumas secuenciales $1+2+\cdots+N$ que son cuadrados

Question

Mientras se juega con las sumas $S_n = 1+\cdots+n$ de los enteros, Me acaba de venir a través de algunos "magia matemática" Yo no tengo ninguna explicación y sin pruebas.

Tal vez usted me puede dar algunos comentarios sobre este:

Yo tenía el equipo de calcular que Sn son cuadrados, y se vino para arriba con la siguiente lista:

Tabla

fila $N$ total($1+\cdots+N$) M (raíz cuadrada de la suma)

r=1 N=1 suma=1 M=1

r=2 N=8 suma=36 M=6

r=3 N=49 suma=1225 M=35

r=4 N=288 suma=41616 M=204

r=5 N=1681 suma=1413721 M=1189

r=6 N=9800 suma=48024900 M=6930

Por supuesto, tenemos $1+\cdots+N = \frac{N(N+1)}{2}$, pero esto no da ninguna indicación para la que N la suma de $1+\cdots+N$ es un cuadrado.

Se puede adivinar cómo en esta tabla podemos calcular las entradas en la fila 2 de las entradas en la fila 1? O las entradas en la fila 3 de las entradas en la fila 2? O las entradas en la fila 4 de las entradas en la fila 3? O las entradas en la fila 5 de las entradas en la fila 4?

He mirado la tabla de arriba, y de hecho algunos extraños observaciones:

1. El valor de la siguiente M se puede calcular fácilmente a partir de las entradas anteriores: Tomar la M de la fila anterior, multiplicar por 6 y restar las M de dos filas más arriba. $M(r) = 6*M(r-1)–M(r-2)$ ¿Cómo es esto posible?

   El S(r) calculamos como $S(r) = M(r)^2$. Tenga en cuenta que no sabemos si esta recién construida número de $S_r$ es en el hecho de que el tipo de $1+\cdots+k$ algunos $k$.

2. El valor de los siguientes N se puede calcular como N(r) = Floor($M(r)*\sqrt 2$), donde Suelo significa "redondeo hacia abajo a la siguiente entero inferior". Algo sorprendente, $S(r)$ es la suma de $1+\cdots+N(r)$ !

3. Parece como si fuera de las entradas en la tabla de arriba, no hay otros casos. Con otras palabras, el método de $M(r) = 6*M(r-1)–M(r-2)$ parece generar TODAS las soluciones n donde la suma de $1+\cdots+n$ es un cuadrado.

Problemas:

Hay una prueba para cualquiera de los tres observaciones? Hacer las observaciones 1 y 2 que realmente trabajan para el infinito número de filas en esta tabla? Hay un infinito número de filas en el primer lugar?

Desconcertado, Karl

Answer 1

Ya veo. Nadie respondió: esto lo que tengo que... Tomando el $u = 2 n+1,$ estamos resolviendo $$ u^2 - 8 m^2 = 1. $$ A beginning solution is $ (3,1). $ Given a solution $(u,m), $ we get a new one $$ (3 u + 8 m, u + 3 m). $$ Then $n # = (u-1) / 2$ para cada par.

Por lo tanto, con $n^2 + n = 2 m^2$ y $u = 2 n + 1,$ tenemos triples $$ (n,u,m) $ $ $$ (1,3,1) $ $ $$ (8,17,6) $ $ $$ (49,99,35) $ $ $$ (288,577,204) $ $ $$ (1681,3363,1189) $ $ $$ (9800,19601,6930) $ $ $$ (57121,114243,40391) $ $ $$ (332928,665857,235416) $ $ $$ (1940449,3880899,1372105), $ $

Con mis cartas, cada uno es una secuencia similar, usemos $r$ para "fila", $$ m_1 = 1, m_2 = 6, \; \; m_{r+2} = 6m_{r+1} - m_r, $ $ $$ u_1 = 3, u_2 = 17, \; \; u_{r+2} = 6u_{r+1} - u_r, $ $ $$ n_1 = 1, n_2 = 8, \; \; n_{r+2} = 6n_{r+1} - n_r + 2. $ $

Answer 2

Este problema se muestra a menudo cuando se trabaja con Pitágoras a los triángulos con lados consecutivos. (3,4,5), (20,21,29) etc.

Voy a responder a la mitad de la pregunta y la otra mitad es similar. $$\frac{N (N+1)}{2}$$ será cuadrado perfecto sólo cuando $N$ es de planta cuadrada y $(N+1)/2$ es un cuadrado o $N/2$ es un cuadrado y $N+1$ es un cuadrado (esto es cierto ya que $N$ $N+1$ co-prime).

Ahora consideremos el primer caso. $N$ es necesariamente impar; por lo $$ N = (2k+1)^2 = 4k^2+4k+1$$ y $$ \frac{N+1}{2} = 2k^2 + 2k + 1 = k^2 + (k+1)^2$$ Por lo tanto necesitamos $$ k^2 + (k+1)^2 = m^2$$ La solución es sólo de Pitágoras triángulo con lados consecutivos. Se refieren a cualquier escuela primaria número de el libro de la teoría de la búsqueda de estos.