Demostrando un límite inferior en el límite superior de una secuencia.

Question

Demostrar que para cada secuencia positiva {$a_{n}$},

$$\varlimsup_{n \to \infty}\frac{\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}}{a_{n}}\geq 4$$

También encontrará las secuencias {$a_{n}$} para que 4 se alcanza.

Intento De Solución:

Por el momento, sólo tengo las siguientes pistas:

1.$$b_{n}:=\frac{\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}}{a_{n}}, $$$$c_{n}:=\sup \left\{b_{m}\mediados de los m\geq n\right\} , $$$$\rightarrow\varlimsup_{n \to \infty}\frac{\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}}{a_{n}}=\lim_{n \to \infty}c_{n}$$ 2.$$b_{n}>1\rightarrow c_{n}>1\rightarrow\varlimsup_{n \to \infty}\frac{\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}}{a_{n}}>1$$ 3. Subproblem: ¿Es cierto que para los positivos secuencias {$a_{n}$}, $$\lim_{n \to \infty}a_{n}= \infty\to \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}}{a_{n}}=\infty$$ Si sí, entonces quizás $\varlimsup_{n \to \infty}\frac{\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}}{a_{n}}=\infty$y el resultado es demostrado por todos los positivos ilimitado de secuencias {$a_{n}$}.

Amablemente me dan sugerencias para que yo pueda seguir avanzando.

Answer 1

Supongamos que para algunos $N$ si $n\ge N$ $$ s_{n+1}=\sum_{k=1}^{n+1}a_k\le ca_n=c(s_n-s_{n-1})\etiqueta{1} $$ Vamos $$ f(x)=\sum\limits_{k=N}^\infty s_kx^{k-N}\etiqueta{2} $$ Entonces, para $x\ge0$, $$ \begin{align} \sum_{k=N}^\infty s_{k+1}x^{k-N} &\le\sum_{k=N}^\infty cs_kx^{k-N}-\sum_{k=N}^\infty cs_{k-1}x^{k-N}\\[6pt] \frac{f(x)-s_N}{x}&\le cf(x)-cxf(x)-cs_{N-1}\\[12pt] (cx^2-cx+1)f(x)&\le s_N-cs_{N-1}x\tag{3} \end{align} $$ Si $c\lt4$,$f(x)\le\frac{4s_N}{4-c}$, pero desde $s_k$ es un aumento de la secuencia, $f(x)$ no puede estar acotada. Por lo tanto, $c\ge4$; en otras palabras $$ \limsup_{n\to\infty}\frac{\sum\limits_{k=1}^{n+1}a_k}{a_n}\ge4\etiqueta{4} $$ Establecimiento $c=4$ en la desigualdad de $(3)$ sugiere consideramos $$ \begin{align} f(x) &=\frac1{(1-2x)^2}\\ &=\sum_{n=0}^\infty(n+1)(2x)^n\tag{5} \end{align} $$ Esto nos lleva a observar que, para las secuencias en las $\frac{a_{n+1}}{a_n}\to2$, obtenemos $$ \sum_{k=1}^{n+1}a_k\sim4a_n\etiqueta{6} $$

Answer 2

Prueba: Supongamos primero que

$$\varlimsup_{n \to \infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=+\infty$$ entonces tenemos $$\varlimsup_{n \to \infty}\dfrac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}+a_{n+1}}{a_{n}}=+\infty$$ Ahora vamos a $$\varlimsup_{n \to \infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=a<+\infty$$ Entonces, dado $\varepsilon>0$ existe $k$ tal que $$\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}<a+\varepsilon,n\ge k$$ En otras palabras, $$\dfrac{a_{n}}{a_{n+1}}>\dfrac{1}{a+\varepsilon},n\ge k$$ Por lo tanto, para suficientemente grande $n$, tenemos \begin{align*} b_{n}&=\dfrac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}+a_{n+1}}{a_{n}}\ge\dfrac{a_{k}+\cdots+a_{n}+a_{n+1}}{a_{n}}\\ &=\dfrac{a_{k}}{a_{k+1}}\cdot\cdots\dfrac{a_{n-2}}{a_{n-1}}\cdot\dfrac{a_{n-1}}{a_{n}}+\dfrac{a_{k+1}}{a_{k+2}}\cdots\dfrac{a_{n-2}}{a_{n-1}}\cdot\dfrac{a_{n-1}}{a_{n}}\\ &+\cdots+\dfrac{a_{n-2}}{a_{n-1}}\cdot\dfrac{a_{n-1}}{a_{n}}+\dfrac{a_{n-1}}{a_{n}}+1+\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\\ &\ge\left(\dfrac{1}{a+\varepsilon}\right)^{n-k}+\left(\dfrac{1}{a+\varepsilon}\right)^{n-k-1}+\cdots+\dfrac{1}{a+\varepsilon}+1+\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} \end{align*} si $0<a<1$, entonces la desigualdad anterior se han $$\varlimsup_{n \to \infty}b_{n}=+\infty$$ por otro lado,si $a>1$, luego tenemos $$\varlimsup_{n \to \infty}b_{n}=a+\lim_{n\to\infty}\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{a+\varepsilon}\right)^{n-k+1}}{1-\dfrac{1}{a+\varepsilon}}=a+\dfrac{a+\varepsilon}{a+\varepsilon-1}$$ En caso de que $a=1$($\varepsilon>0$ puede ser arbitraria), llegamos a la $$\varlimsup_{n \to \infty}b_{n}=+\infty$$ si $a>1$, luego tenemos $$\varlimsup_{n \to \infty}b_{n}\ge 1+a+\dfrac{1}{a-1}=2+(a-1)+\dfrac{1}{a-1}\ge 4$$ $4$ es una óptima estimación, ya que es alcanzado por la secuencia de $$a_{n}=2^n,n\in N$$