Supongamos que $m$, $n \in \mathbb{Z}$ y $m$ divide a $n$. Muestra que $\frac{\mathbb{Z}_n}{\mathbb{Z}_m} \cong \mathbb{Z}_{\frac{n}{m}}$

Question

Supongamos que $m, n \in \mathbb{Z}$ y $m$ divide a $n$. Demuestra que $$\frac{\mathbb{Z}_n}{\mathbb{Z}_m} \cong \mathbb{Z}_\frac{n}{m}$$ Intento usar el tercer teorema de isomorfismo para demostrarlo pero no sé cómo aplicarlo aquí. ¿Alguien me puede guiar?

Answer 1

Pista: Primero, hay que tener en cuenta que, estrictamente hablando, $\mathbb Z_m$ no es un subgrupo de $\mathbb Z_n$ (a menos que $n=m$), y lo que realmente se quiere decir aquí es identificar primero un cierto subgrupo de $\mathbb Z_n$ que sea isomorfo a $\mathbb Z_m$. Si primero haces esto preciso, una elección muy natural de una función $f:\mathbb Z_n\to \mathbb Z_{\frac{n}{m}}$ vendrá a la mente, lo que motiva una aplicación del teorema de isomorfismo (primero).

Nota general: en lugar de intentar pensar qué teoremas de isomorfismo usar, busca la 'homomorfismo evidente' y aplica el teorema de isomorfismo (primero) a él. A menudo, es más fácil encontrar homomorfismos que ocurren naturalmente. Los teoremas de isomorfismo segundo y tercero son consecuencias inmediatas del primero (así que en cierto sentido, solo hay un teorema de isomorfismo).

Answer 2

Puedes ver este problema desde otro punto de vista. Para cualquier $m$ que divida a $n$ tenemos $$n\mathbb{Z}\lhd m\mathbb{Z}$$ y al dejar $$\varphi:m\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/\frac nm\mathbb{Z}$$ con $$\varphi(k)=\big[{\frac1m\cdot k}\big]$$ uno podría verificar; que $\varphi$ es un epimorfismo y así $\ker(\varphi)=n\mathbb{Z}$. Y por lo tanto, según el primer teorema de isomorfismo, $$m\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}/\frac nm\mathbb{Z}$$ Esto puede llevarte a tener la conclusión.

Answer 3

Define $\phi: \mathbb{Z}_n \to \mathbb{Z}_{n}$ tal que $$\phi(x)=mx$$ Y considera $\ker \phi$ y $\operatorname{Im}\phi$, y aplica el Primer teorema de isomorfismo.

Answer 4

Pista: Un cociente de un grupo cíclico es cíclico, compara órdenes.

Answer 5

Consider $\mathbb{Z}_{n}$ como el conjunto $\{0, \cdots, n-1\}$ con la adición definida módulo $n$. Si tenemos $\mathbb{Z}_{6} = \{0,1,2,3,4,5\}$, podemos identificar una copia de $\mathbb{Z}_{3}$ dentro de $\mathbb{Z}_{6}$ como $\{0,2,4\}$. Si dividimos por este subgrupo, obtenemos los cocientes $\{0,2,4\}$ y $\{1,3,5\}$, que podemos identificar con $\mathbb{Z}_2.

Usemos este ejemplo para motivar la construcción general. Dado $\mathbb{Z}_n$, el subgrupo generado por $\frac{n}{m}$ tiene orden $m$. El subgrupo cociente sigue siendo cíclico, y está generado por $[1]$, que tiene orden $\frac{n}{m}$, por lo que el cociente es $\mathbb{Z}_{\frac{n}{m}}$.