Fórmula de$\bigcap X$ cuando$X$ es una clase

Question

Al $X$ es un conjunto, sé que podríamos definir $\bigcap X$ $Z$ tal que $z \in Z \to \forall x \in X(z \in x)$

Si $X$ es una clase, se puede ejecutar en problema en el proceso de determinar si un elemento pertenece a $X$. Por lo tanto, a mí me parece que no es legítima para escribir $\forall x \in X$. ¿Cómo podemos superar estas dificultades?

AÑADIDO: quiero mostrar "$x$ es un número natural" es $\Sigma_0$ en Levy jerarquía(un lexema sin prueba en la página 28, Constructibility, K. J. Devlin). Así que tengo que definir número natural, en primer lugar, que es la intersección de todos los conjuntos inductivos, pero todos los conjuntos inductivos constituyen una clase adecuada.

Answer 1

Esto no es una dificultad real. Si $X$ es una fórmula, a continuación, hay algunos $\varphi(x,p)$ tal que para algún parámetro fijo $p$ tenemos $X=\{x\mid\varphi(x,p)\}$.

Ahora, ¿cuál es la intersección de una clase, de cualquier clase, incluso un conjunto? Es la colección de todos los elementos que pertenecen a todos los miembros de la clase. De modo que podemos escribir:

$$\bigcap X=\{y\mid\forall x(\varphi(x,p)\rightarrow y\in x\}$$

"Cada elemento que satisface $\varphi(x,p)$ incluye a $y$" (tenga en cuenta que este es todavía el nuestro fija $p$ de los de antes).

Una advertencia es que si $X=\varnothing$, entonces esto no está bien definida, en absoluto. Vacuously $\bigcap\varnothing$ incluye todos los elementos del universo, pero algunos autores requieren los elementos en $\bigcap X$ a ser elementos de $\bigcup X$, en cuyo caso $\bigcap\varnothing=\varnothing$.

Así que siempre y cuando usted sabe que hay al menos un conjunto inductivo, la clase $X$ de todos los conjuntos inductivos es no vacío y podemos hablar de su intersección.

---

En cuanto a su dificultad, creo que de $\forall x\in X:\psi(x)$ como una abreviación de $\forall x(\varphi(x,p)\rightarrow\psi(x))$.

Answer 2

Esta respuesta sólo se ocupa de la nota agregada en el OP.

Una forma alternativa de mostrar que "$x$ es un número natural" es expresable como una $\Sigma_0$-fórmula es ir realmente a través de la obra. El siguiente no va a depender el Axioma de Infinitud. Tenga en cuenta que $x$ es un número natural iff $x$ $x = \emptyset$ o $x$ es un ordinal sucesor y todos los elementos de a $x$ son $\emptyset$ o sucesor de los números ordinales. Ahora es sólo una cuestión de seguir los pasos:

• asumiendo suficiente de ZFC, "$x$ es un ordinal" iff "$x$ es transitiva y bien ordenado por $\in$":
  • "$x$ es un conjunto transitivo" puede ser expresado como $( \forall y \in x ) ( \forall z \in y ) ( z \in x )$;
  • "todos los pares de elementos de $x$ $\in$- comparable" puede ser expresado como $( \forall y \in x ) ( \forall z \in x ) ( y = z \vee y \in z \vee z \in y )$;
  • tenga en cuenta que si todos los pares de elementos de $x$ $\in$- comparable, entonces por la Fundación (que necesita un poco más, pero no mucho) de lo que se deduce que $\in$ es una relación transitiva en a $x$;
  • por Fundación (esencialmente) $\in$ es una relación asimétrica en todos los conjuntos;
  • por la Fundación de $\in$ está bien fundado;
• "$x$ es un ordinal sucesor" se expresa como "$x$ es un ordinal $\wedge ( \exists y \in x ) ( \forall z \in x ) ( z \in y \vee z = y )$";
• "$x = \emptyset$ es expresado como $( \forall z \in x ) ( z \neq z )$.

Tenga en cuenta que todas las fórmulas anteriores son $\Sigma_0$, y así combinaciones booleanas y restringido cuantificaciones de estos también se $\Sigma_0$. Ahora acaba de poner todas estas piezas juntas para expresar "$x$ es un número natural" como un $\Sigma_0$ fórmula.

Answer 3

Tener en cuenta que escribir algo como $x\in X$ o $\forall x\in X$ no es en sí el problema importante, como elemento de las relaciones con una clase (en el lado derecho, por supuesto) puede ser visto como abreviaturas de una más general predicado definig la clase $X$.El problema es más bien que lo que tratamos de definir por $$\bigcap X := \{x\mid \forall b\in X\colon x\in b\}$$ podría ser una clase adecuada.

Para estar en el lado seguro, si $X$ es un vacío clase e $a\in X$, podemos definir la $$\bigcap X := \{x\in a\mid \forall b\in X\colon x\in b\}$$ y este es sin duda un conjunto. Uno debe, por supuesto, (fácilmente) comprobar que está bien definida, es decir, si también se $a'\in X$ $$\{x\in a'\mid \forall b\in X\colon x\in b\}= \{x\in a\mid \forall b\in X\colon x\in b\}.$$