Cálculo del grado de extensión del campo de extensión

Question

Hay una manera más fácil de calcular el grado de extensión de la división de campo de un polinomio como $$x^7-3\quad\text{over}\quad\Bbb Z_5\,?$$My approach for several of these have been to find all roots in the given field (in this case, I think $x=2$ is the only root), then I can factor it via long division. In this case, I get $$x^7-3=(x-2)(x^6+2x^5+4x^4+3x^3+x^2+2x+4).$$At this point, I would check that $2$ is not a repeated root, and here it is easy to check that this is not the case. Since I've checked all of the other elements, at this stage I would adjoin a root of this polynomial, use long division and get a $5^\texto{th}$ degree polynomial. Now, the new field I'm working in would have degree $6$, since it is the root of a $6^\texto{th}$ grado polinomio irreducible, ¿verdad?

En este punto, comienza a sentir como que estoy buscando una aguja en un pajar; tengo varios más de los elementos que tengo para comenzar a probar, y para este problema en particular, que llega a ser abrumador.

En algún momento, había pensado que el mapa de $\alpha\mapsto \alpha^p$ donde $p=5$ en este caso, iba a funcionar, pero yo tenía otro problema en el que no era el caso (específicamente, traté de encontrar la división de campo de la $x^5+x+1$$\Bbb Z_2$. Aquí era fácil ver que era irreductible, así que me acueste de la raíz, vamos a llamarlo $\gamma$, y usando el método anterior, me encontré $\gamma^2$ es una raíz, pero no $\gamma^4$).

Así que mi pregunta es la siguiente: ¿existe un método mejor que lo que estoy haciendo para el factor de estos (y en el proceso, el grado de extensión)?

Answer 1

Una vez que usted sabe que una de las causas de $x^7-3$, es decir,$2$, consigue todos los demás multiplicando con $7$-th raíces de la unidad. Desde $x^7-1$ y su derivado $7x^6$ no tienen raíces comunes, el polinomio $x^7-1$ es separable, por lo $\overline{ \mathbb F}_5$ realmente contiene $7$ diferentes raíces de la unidad, decir $1,\zeta,\zeta^2,\ldots,\zeta^6$. A continuación, $2,2\zeta,\ldots,2\zeta^6$ son las diferentes raíces de $x^7-3$.

Suponga que la extensión de $\mathbb F_{5^n}$ $\mathbb F_5$ contiene $\zeta$. A continuación, $\zeta$ genera un subgrupo de $\mathbb F_{5^n}^\times$ orden $7$, así que por la del teorema de Lagrange, $7|(5^n-1)$, o, equivalentemente,$5^n \equiv 1 \pmod 7$. Por lo tanto $n$ es un múltiplo de la orden de $5$ modulo $7$.

Por el contrario, si $n \geq 1$ es tal que $5^n \equiv 1 \pmod 7$, $7$ divide $5^n-1$ y esto implica que el polinomio $x^7-1$ divide $x^{5^n-1} - 1$. Desde $\mathbb F_{5^n}$ es la división de campo de la $x^{5^n-1} - 1$, obtenemos $\zeta \in \mathbb F_{5^n}$.

Esto demuestra que $\mathbb F_5(\zeta) = \mathbb F_{5^n}$ donde $n$ es el orden de $5$ modulo $7$,$6$. Por lo tanto, la división de campo de la $x^7-3$ tiene el grado $6$$\mathbb F_5$.

Por supuesto, estos argumentos sólo funcionó porque se podría reducir el problema de encontrar el grado de $\mathbb F_5(\zeta)$ $\mathbb F_5$ donde $\zeta$ es una primitiva $7$-ésima raíz de la unidad. General de los polinomios, las cosas son probablemente más difícil.