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¿Hay transformaciones de Möbius de orden teórico grupal arbitrario?

Toma por ejemplo, $f(x)=\frac{x-3}{x+1}$. Se puede verificar que$f\circ f\circ f$ es la identidad, por lo que$f$ tiene el orden 3 en el grupo de transformaciones de Möbius. La construcción de tales funciones se puede hacer fácilmente.

¿Hay transformaciones de Möbius de órdenes arbitrariamente mayores? Si es así, ¿cómo puede uno construirlos?

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JeanMarie Puntos 196

La composición de Möbius se transforma naturalmente asociado con su matriz de coeficientes:

$$x \rightarrow f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d} \ \ \ \leftrightarrow \ \ \ \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$$

Esta correspondencia es en particular un grupo de isomorfismo entre el grupo de (invertible) homographic transforma de la real proyectiva línea y $PGL(2,\mathbb{R})$.

(composición $\circ$ asignado a la matriz producto $\times$).

Por lo tanto, tu pregunta se reduce a la siguiente: para un determinado $n$, existe un $2 \times 2$ matriz $A$ tal que $A^n=I_2$ ?

La respuesta es sí para los coeficientes reales. Basta con retirar la matriz de rotación :

$$\begin{bmatrix} \cos(a) & -\sin(a) \\ \sin(a) & \cos(a) \end{bmatrix} \ \ \ a=\dfrac{2\pi}{n}$$

Edit: Si usted está buscando para el entero de los coeficientes, la respuesta es no. De hecho, con coeficientes enteros, sólo homographies de fin de 2,3,4 y 6 puede existir. (Puedo rectificar aquí un error que ha sido señalado y puedo añadir información). Véase, por que el muy buen artículo home.wlu.edu/~dresdeng/papers/nueve.pdf (en particular de ver su lema 1).

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Khushi Puntos 1266

Permita que$\zeta$ sea un primitivo$n^{\text{th}}$ raíz de la unidad, y considere la transformación de Möbius$f(z) = \zeta z$. Como

ps

el orden de$$(\underbrace{f\circ f\circ\dots\circ f}_{k\ \text{times}})(z) = \zeta^kz,$ es$f$. Por lo tanto, el grupo de transformaciones de Möbius tiene un elemento de cualquier orden finito. Además,$n$ proporciona un ejemplo de un elemento de orden infinito.

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