La composición de Möbius se transforma naturalmente asociado con su matriz de coeficientes:
$$x \rightarrow f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d} \ \ \ \leftrightarrow \ \ \ \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$$
Esta correspondencia es en particular un grupo de isomorfismo entre el grupo de (invertible) homographic transforma de la real proyectiva línea y $PGL(2,\mathbb{R})$.
(composición $\circ$ asignado a la matriz producto $\times$).
Por lo tanto, tu pregunta se reduce a la siguiente: para un determinado $n$, existe un $2 \times 2$ matriz $A$ tal que $A^n=I_2$ ?
La respuesta es sí para los coeficientes reales. Basta con retirar la matriz de rotación :
$$\begin{bmatrix} \cos(a) & -\sin(a) \\ \sin(a) & \cos(a) \end{bmatrix} \ \ \ a=\dfrac{2\pi}{n}$$
Edit: Si usted está buscando para el entero de los coeficientes, la respuesta es no. De hecho, con coeficientes enteros, sólo homographies de fin de 2,3,4 y 6 puede existir.
(Puedo rectificar aquí un error que ha sido señalado y puedo añadir información). Véase, por que el muy buen artículo home.wlu.edu/~dresdeng/papers/nueve.pdf (en particular de ver su lema 1).