Demuestre que$\mathcal T$ es una topología

Question

Vamos a una función de $h:\mathcal P(X)\to\mathcal P(X)$ ser definido por

1. $h(\emptyset)=\emptyset$

2. $h(A\cup B)=h(A)\cup h(B),\;\forall A,B\in\mathcal P(X)$

3. $h(A)\supseteq A,\;\forall A\in\mathcal P(X)$

4. $h\circ h=h$

Ahora el programa de instalación de $\mathcal T:=\{A^\complement\in\mathcal P(X): h(A)=A\}$. Demostrar que $\mathcal T$ es una topología en $X$.

Estoy atascado con este problema. Puedo mostrar que $\emptyset,X\in\mathcal T$ y que la intersección finita de elementos de $\mathcal T$ pertenecen a $\mathcal T$.

Pero soy incapaz de probar que arbitraria de la unión de elementos de $\mathcal T$ pertenecen a $\mathcal T$. Yo estaba jugando con las propiedades de $h$ pero no puedo concluir algo acerca de este último axioma para definir una topología.

Alguna sugerencia o solución será apreciado. Gracias.

Answer 1

Primeramente nos vamos a demostrar que $h$ conserva inclusiones. Supongamos que $A\subset B$. Esto es equivalente a decir que existe una $C\in \mathcal{P}(X)$ tal que $A\cup C=B$. La aplicación de $h$ a esta igualdad, nos encontramos con que $h(A\cup C)=h(A)\cup h(C)=h(B)$, aquí hemos utilizado ese $h$ pasa a través de finito de los sindicatos. Desde $h(A)\cup h(C)=h(B)$,$h(A)\subset h(B)$. Por lo tanto hemos demostrado que la $A\subset B \Rightarrow h(A)\subset h(B)$. (El recíproco no es necesariamente cierto).

Ahora elija $A_i^C\in \mathcal{T}$ arbitrariamente. A continuación, $\cap_i A_i\subset h(\cap_i A_i)$ por la tercera propiedad de $h$. Observe que $\cap_i A_i\subset A_i$, aplicando $h$ a esta inclusión, obtenemos que $$h(\cap_iA_i)\subset h(A_i)=A_i$$ holds for all $i$. Here we used that $h(A_i)=A_i$ since $A_i^C\in \mathcal{T}$. Since the above property holds for all $i$, we conclude that $h(\cap_i A_i)\subconjunto \cap_i A_i$. Thus $h(\cap_i A_i)=\cap_i A_i$, que teníamos que mostrar por mi comentario anterior. Aviso que no usamos ese $h\circ h=h$.

Answer 2

Para mostrar que cualquier unión de subconjuntos de$T$ pertenece a$T,$, basta con mostrar que si$Y\subset P(X)$ y$\forall B\in Y\;(h(B)=B)$ entonces$h(\cap Y)=\cap Y.$

(1) .Si$C\subset D\subset X$ entonces$h(C)\subset h(D)$ porque$h(D)=h( C\cup (D$ \$C))=h(C)\cup h(D$ \$C).$

(2) Si$Y\subset P(X)$ y$\forall B\in Y\;(B=h(B))$ luego por (1),$$\forall B\in Y\; (h(\cap Y)\subset h(B)).$$ $$ \text { Therefore }\quad \cap Y\subset h(\cap Y)\subset \cap_{B\in Y}h(B)=\cap_{B\in Y}B=\cap Y.$ $