Sea $k$ sea un campo y sea $V$ sea un espacio vectorial sobre $k$ . Entonces $V$ es de dimensión finita si y sólo si para cada $\phi\in End_k(V)$ hay $a_0,\dots,a_{m-1}\in k$ s $$\phi^m+a_{m-1}\phi^{m-1}+\cdots+a_1\phi+a_0id_V=0.$$
No tengo ni idea de cómo demostrar esta afirmación. Estaba tratando de usar el hecho de que $V$ es de dimensión finita si y sólo si $End_k(V)$ es de dimensión finita... ¿Podría ayudarme con esto? Gracias.
Supongamos que $V$ es de dimensión finita, entonces también lo es $\mathrm{End}_k(V)$ . En particular, para cualquier $\varphi \in \mathrm{End}_k(V)$ existe algún $n$ tal que el conjunto $\{\varphi^0,\dots,\varphi^n\}$ depende linealmente. Este $n$ es, por supuesto $\dim_k \mathrm{End}_k(V)$ . La existencia de tales $a_i$ sigue.
No veo una manera fácil de hacer la dirección inversa utilizando el hecho de que te gusta. Prefiero demostrarlo por contraposición. Si $V$ es infinito dimensional tome un conjunto contable linealmente independiente de vectores unitarios $\{e_n\}$ y definir $\varphi(e_n)=e_{n+1}$ y ampliar $\varphi$ linealmente al resto del espacio. Entonces tenemos que $\varphi^k(e_1)=e_{k+1}$ . Así que no puede existir tal conjunto de coeficientes, porque el conjunto $\{\varphi^k(e_1)\}_{k=0}^\infty$ es linealmente independiente.
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