Prueba de Geometría Analítica de ortogonalidad en geometría triangular

Question

En el triángulo $ABC$, $AB = AC$, $D$ es el punto medio de $\overline{BC}$, $E$ es el pie de la perpendicular de$D$$\overline{AC}$, e $F$ es el punto medio de la $\overline{DE}$. Demostrar que $\overline{AF}$ es perpendicular a $\overline{BE}$.

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Mi primer acercamiento fue a alinear el triángulo en el primer cuadrante, en las coordenadas x, y comenzó a calcular las pendientes y las posiciones de los puntos. Pero luego las cosas se pusieron desordenado muy rápido, me temo que me estoy acercando a este problema de la manera equivocada. Hay una manera mejor? No trigonometría todavía! Las soluciones son muy apreciados. Gracias de antemano!

Answer 1

Pero tal vez si usted vio la prueba geométrica, que iba a cambiar su mente acerca de buscando una analítica prueba de este hecho.

Tome $K$ a ser el punto medio del segmento de $CE$. A continuación, $KF$ es un mid-segmento en el triángulo $DCE$ y, por tanto, $KF$ es paralelo a $CD$. Además, $CD$ es ortogonal a $AD$, lo que significa que la línea de $KF$ es ortogonal a $AD$. De ahí que las líneas de $DE$ $KF$ son de altura en el triángulo $DKA$ y, en consecuencia, el punto de $F$ es el ortocentro de $DKA$. Por lo tanto, la línea de $AF$ es la tercera altura en el triángulo $DKA$ $AF$ es ortogonal a $DK$. El segmento de $DK$, sin embargo, es a mediados del segmento de triángulo $BCE$ $DK$ es paralelo a $BE$. Por lo tanto $BE$ es ortogonal a $AF$.

Answer 2

Podemos incrustar la construcción en el plano complejo, suponiendo$D=0$,$C=1, B=-1$ y$A=ri$. Con tales suposiciones, podemos calcular$E$, luego$F=\frac{E}{2}$ y verificar que$\frac{F-A}{E-B}$ sea un número puramente imaginario, demostrando$AF\perp BE$.

Answer 3

Aquí está una vectorial prueba con un poco de trigonometría en la final. Podemos transformar nuestro objetivo así:

$$\etiqueta{2}AF \asesino SEA \ (a) \ \ \ \ \ iff \ \ \ 2\vec{AF} \cdot \vec{BE}=0 \ (b)$$

(símbolo $\cdot$ significado de "producto escalar"). El lado izquierdo de (2b) puede resumirse así:

$$(\vec{AD}+\vec{AE}) \cdot (\vec{BD}+\vec{DE})=\vec{AD}\cdot\vec{DE} + \vec{AE} \cdot \vec{BD} $$

(teniendo en cuenta la ortogonalidad de AD y BD, y AE y DE).

Deje $\alpha=\widehat{BAC}=\widehat{DAC}$ $h$ ser la longitud de la altura $AD$.

Es fácil establecer que:

$$\begin{cases} \vec{AD} \cdot \vec{DE}&=&- h \times h \sin(\alpha) & \ \ \text{(the minus sign is essential)}\\ \vec{AE} \cdot \vec{BD} &=& h \cos(\alpha) \times h \tan(\alpha) & \end{cases}$$

(donde $\times$ es la multiplicación ordinaria de los números reales).

La suma de estos dos resultados da $0$ ; así, hemos obtenido el lado derecho de (2).

Answer 4

Sé que una prueba geométrica coordinada dañará a los verdaderos amantes de la geometría, pero aún así me gustaría presentar una ya que OP la encontró MESSY .

Sin pérdida de generalidad, coloque el triángulo como$A=(0,0)\ B=(-1,k)\ C=(1,k)$

Luego verifica que$D=(0,k)$

Permitir $E$

Por el problema,$(a,ka):a\in(0,1)$ $

Asi que $${ka-k\over a}\cdot k=-1\implies a={k^2\over k^2+1}$

Otro cálculo simple revela que$E=\left({k^2\over k^2+1},{k^3\over k^2+1}\right)$ es$F$

Ahora es trivial que$\left({k^2\over 2(k^2+1)},{2k^3+k\over 2(k^2+1)}\right)$ $