prueba de comparación - serie útil para saber

Question

¿Cuáles son algunas series útiles para saber para la prueba de comparación junto con sus condiciones? Puedo pensar en lo siguiente:

• serie p
• series geométricas
• serie armónica

¿Hay otras series que sean útiles con la prueba de comparación?

gracias por adelantado

Answer 1

Aquí hay uno que es útil para saber, aunque no tan frecuentes como los de la lista:

$$\text{Si}\;\;p>1, \quad\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n(\ln n)^p}\;\;\text{converge}. \text{ Si}\;\;p\leq 1,\text{ la serie diverge.}\la etiqueta{1}$$

---

$$\text{También}\;\;\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\;\texto{ converge. De hecho,}\;\; \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!} = e.\la etiqueta{2}$$

---

Finalmente, el comportamiento de determinada potencia de la serie, y el correspondiente radio de convergencia de cada uno, es bueno saber y entender.

Answer 2

En general, Cálculo II curso, la lista es bien solo con la p-serie y serie geométrica. Tenga en cuenta que la serie armónica es sólo una serie p con $p=1$ que diverge. Es útil, aunque tal vez trivial, a saber que una constante de la serie armónica (decir $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2n} \equiv \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n}$) diverge así.

Un útil el hecho de que cuando usted está buscando para el uso de la Prueba de Comparación es tener cuidado con sus desigualdades y la manera de ir. Dice que una expresión es$\lt \infty$, no es muy útil, por ejemplo, en términos de la determinación de la divergencia o convergencia. Además, para utilizar el Límite de la Prueba de Comparación, observar el comportamiento como $n\to\infty$ para la serie original $a_n$ a determinar un $b_n$ a uso de la LCT.

Usted también puede buscar para cualquier serie que corresponde a un inadecuado integral cuya convergencia sabes. Más de la serie y las integrales impropias saber/entender, el más usted finalmente va a tener en su cartera para su uso posterior, lo cual es útil.

Datos útiles (no necesariamente para el uso de la Prueba de Comparación): $$\lim_{n\to\infty} \frac{x^n}{n!} = 0 \tag{1}$$ $$\lim_{n\to\infty} \frac{n!}{x^n} = \infty \tag{2}$$

Estos dos (aunque uno es sólo una extensión de la otra) simplemente que $n!$ crece más rápido de lo $x^n$$x \in \mathbb{R}$.