Necesita ayuda con la prueba de existencia de$\sqrt{2}$

Question

Estoy trabajando mi camino a través de las pruebas en esta página. Estoy atascado en "4. El número real $\sqrt{2}$ existe." Comienza:

Nos pondremos $\sqrt{2}$ como la menor cota superior del conjunto a $A = \{q\in Q | q^2 < 2 \}$. Sabemos que a es acotado por arriba (por 2 dicen)...

¿Cómo sabemos esto? Cómo puedo demostrarlo?

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Yo creo que puede haber.

Supongamos $x\cdot x\leq2$.

Supongamos que al contrario que $x>2$.

$x=2+d$ $d>0$

$x\cdot x = 4+4d+d\cdot d <2$

$2+4d+d\cdot d<0$

Esto es contradicho por el hecho de que $d>0$.

Answer 1

Si$q^2 < 2$, entonces claramente$q^2 < 4$. Si$q^2 < 4$, ¿qué puedes concluir sobre$q$?

Answer 2

$2$ es un límite superior de ese conjunto, ya que para cualquier$q$ con$q^2<2$, claramente$q\ge 2$ es imposible (¿ves por qué?).

Answer 3

Suponer$x>2$. Obviamente tenemos$2>0$. Ahora desde$x>y>0$ sabemos$x^2>y^2$. Por lo tanto$x^2>2^2=4$. Sin embargo, si$x^2>4$, obviamente no tenemos$x^2<2$, y por lo tanto$x\notin A$.

Así que hemos demostrado que siempre que$x>2$, luego$x\notin A$. Por lo tanto, si$x\in A$, luego$x\le 2$. Pero esa es exactamente la definición de un límite superior, y por lo tanto$2$ es un límite superior de$A$.

Answer 4

En primer lugar, puede decir que$\sqrt{2}$ no es imaginario. Ahora$\sqrt{1}<\sqrt{2}<\sqrt{4}$ así$1<\sqrt{2}<2$ así que tiene que existir entre esos dos números, y es real, entonces existe.