Intento demostrar que para la siguiente ecuación existe una B que la resuelve (c es una constante):
$1-B = e^{-cB}$
Entiendo que se trata de una ecuación trascendental, pero ¿cómo demuestro que hay una B que la resuelve?
Necesito una solución no nula. c > 1
Editar: La pregunta fue modificada para eliminar la solución $B=0$ .
Primera respuesta: Mediante una inspección, $B=0$ es una solución. En el caso $c=1$ Es la única solución.
Respuesta a la pregunta modificada: Considere la función $f(x)=1-x-e^{-cx}$ . Tenemos $f'(x)=ce^{-cx}-1$ . Esto es positivo en $x=0$ ya que $c\gt 1$ . Así, por continuidad $f'(x)\gt 0$ durante un tiempo después de $x=0$ .
De ello se desprende que $f(x)$ está aumentando durante un tiempo pasado $x=0$ y, en particular, es positivo para algunos $a\gt 0$ .
Cuando $x$ es lo suficientemente grande, $f(x)$ es negativo, ya que $\lim_{x\to\infty}e^{-cx}=0$ .
Por lo tanto, por el Teorema del Valor Intermedio, existe un $x\gt 0$ tal que $f(x)=0$ .
Observación: Mediante un examen más detallado de la derivada, se puede demostrar que hay exactamente una $x\gt 0$ tal que $f(x)=0$ .
Voy a utilizar $x$ para $B$ :
$1-x = e^{-cx}$
http://www.wolframalpha.com/input/?i=1-x+%3D+e%5E%28-cx%29 resuelve para x como
Para demostrar esto, tenemos que mostrar que $$(cx-c)e^{cx-c}+c*e^{-c}=0$$
Utilicemos una forma alternativa de la igualdad original (esto es trivial):
Supongamos que $(cx-c)e^{cx-c}+c*e^{-c}=y$
$$(cx-c)e^{cx-c}=y-c*e^{-c}$$
Reescribe esto como $$\frac {(cx-c)e^{cx}} {e^c}=y-c*e^{-c}$$
Ahora, desde 2 tenemos $$(cx-c)e^{cx}=-c$$
Sustituyendo esto se obtiene $$-\frac {c} {e^c}=y-c*e^{-c}$$
lo que lleva trivialmente a $y=0$ lo que lleva a 1 anterior, utilizando la definición de $W$ .
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
