¿Puede el$\nabla$ ser llamado un "vector" de alguna manera significativa?

Question

Yo solía pensar que $\nabla$ (o $\vec \nabla$) fue sólo algunas de fantasía notación para representar algunos operadores diferenciales ($\nabla f \equiv \text{grad} \ f$, $\nabla \cdot \vec v \equiv \text{div} \ \vec v$, $\nabla \times \vec v \equiv \text{curl} \ \vec v$), lo que es particularmente conveniente, ya que pasa a comportarse como un vector en un manipulaciones algebraicas.

Sin embargo, he leído en algunos posts en este sitio (como esta respuesta o esta respuesta) que parecen sugerir que de hecho podría ser una manera de considerar la $\nabla$ como un vector en un formalmente de manera significativa.

Por ejemplo, citando a partir de esta respuesta:

Hay al menos dos capas de las ideas aquí. En primer lugar, como usted dice, el "doble espacio" $V^*$ real a un espacio vectorial es (por definición) el colección de lineal mapas/funcionales $V\rightarrow \mathbb R$, con o sin escoger una base. Hoy en día, $V^*$ lo haría más a menudo se llama simplemente el "doble espacio", en lugar de "covectors".

Luego, la noción de "espacio de la tangente" a un suave múltiples, tales como $\mathbb R^n$ sí, en un punto, es (intuitivamente) el espacio vectorial de direccional derivado de los operadores (de las funciones lisas) en ese punto. Así, en $\mathbb R^n$, $0$ (o en cualquier punto, en realidad), $\{\partial/\partial x_1, \ldots, \partial/\partial x_n\}$ formas un base para el espacio vectorial de direccional-derivado de los operadores.

Pues a mí me parece que podría ser significativa, de manera rigurosa para interpretar $\nabla$ como un elemento de algún espacio vectorial, tal vez el espacio dual de un espacio vectorial de las funciones. Es esta línea de razonamiento correcto?

PS yo soy un físico, no un matemático, y sólo tengo una muy básica en el análisis funcional y la geometría diferencial.

Answer 1

En geometría diferencial, es común para identificar los vectores (o "campos vectoriales") y "derivaciones" (que actúa en el espacio de las funciones lisas). Por ejemplo, en $3$espacio tridimensional $\mathbb{R}^3$, el diferencial de operador $$ \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial z} $$ es la misma cosa que el (constante) campo vectorial $$ \overrightarrow{V} = (1, 0, 1).$$ Esto es debido a que el vector de los campos de "la ley" sobre las funciones simplemente diciendo que el $\overrightarrow{V}(f) := df(\overrightarrow{V})$ (lo que usted podría querer escribir $\overrightarrow{\nabla} f \cdot \overrightarrow{V}$). Así, es perfectamente bien para escribir $\overrightarrow{V} = \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial z}$.

Escribí esto porque pensé que te interesaría saber, pero en realidad no responder a la pregunta acerca de $\nabla$. El símbolo $\nabla$ se llama derivada covariante, y no es un campo de vectores (aunque pareciera que uno cuando se utiliza en funciones). Esta derivada covariante es otro tipo de operador diferencial, en general es el único bien definido cuando se tiene una métrica de Riemann (que es el caso en $\mathbb{R}^3$, el natural de la métrica Euclidiana). Contrario a la diferencial de una función, nociones tales como el gradiente de una función o de la divergencia de un campo vectorial requieren de una métrica. En $\mathbb{R}^3$, hay un último ingrediente necesario para dar su poder a la notación $\nabla$: el producto cruzado (que técnicamente identifica los vectores bi-vectores, lo que permite definir la rotación como un campo de vectores). Estas características especiales de la $\mathbb{R}^3$ es la razón por la mágica notaciones $$\overrightarrow{\nabla} f = \text{grad} \ f \qquad \overrightarrow{\nabla} \cdot \vec V = \text{div} \ \vec V \qquad \overrightarrow{\nabla} \times \vec V = \text{curl} \ \vec V$$ sólo el trabajo en $\mathbb{R}^3$, o debería decir, sólo han parcial generalizaciones a dimensiones más altas o más general de espacios.

En conclusión, yo diría que sí $\nabla$ es un verdadero objeto matemático que es posible definir correctamente (es más que una notación), pero no es del todo correcto decir que es un vector, y, finalmente, las fórmulas que usted sabe que su participación no trabajan al 100% de la misma en general (lo que se dice, permite hacer muchas otras cosas).