El subgrupo Frattini$\Phi(G)$ contiene la intersección$Z(G)\cap [G,G]$.

Question

Quiero mostrar para cualquier grupo$G$ que$[G,G]\cap Z(G)\subseteq \Phi(G)$.

Pero realmente no sé por qué eso funciona. Miré la definición de los diferentes grupos:$[G,G]=\langle[a,b] | a,b\in G\rangle$,$[a,b]=aba^{-1}b^{-1}$. Entonces cuando los elementos en la intersección son$a,b\in G$ st$[a,b]=e$.

El caso es que todos los Lemma's y co útiles. solo para finito$G$ son, y no sé cómo mostrar que la intersección debe estar en$\Phi(G)$.

Espero que alguien esté dispuesto a dar algunas pistas :)

Answer 1

Este es un teorema de Gaschütz:

si$\,A:=[G:G]\cap Z(G)\rlap{\;\,/}\subset \Phi(G)\,$, entonces existe un$\,M\leq G\,\,s.t.\,\,A\rlap{\;\,/}\subset M\,$% máximo, y desde aquí

ps

y como$$G=MA\Longrightarrow \forall\,g\in G\,\,\exists\,m\in M\,\,,\,a\in A\,\,s.t.\,\,g=ma$ obtenemos

ps

de modo que$\,a\in Z(G)\,$ tiene orden principal y, por lo tanto, es abelian, pero esto significa$$g^{-1}Mg=a^{-1}m^{-1}Mma=m^{-1}Mm=M$, y como$\,M\triangleleft G\Longrightarrow G/M\,$, contradicción.