Pruebalo $2x^2 - 3xy + 2y^2 \geq 0$

Question

Pruebalo $2x^2 - 3xy + 2y^2 \geq 0$.

Esta es una pregunta sobre mi tarea, pero ni siquiera sé por dónde empezar, ya que no es factorable y ese es mi primer instinto cuando veo este tipo de problema. ¿Puedo obtener un consejo sobre dónde comenzar al menos? ¡Gracias!

Answer 1

Se nos pide a mostrar que $2x^2-3xy+2y^2 \ge 0$, presumiblemente para todos los verdaderos $x$$y$.

El método estándar es para completar el cuadrado. Vamos a hacerlo de una fea forma mecánica. Tenga en cuenta que $$2x^2-3xy+2y^2=2\left(x^2-\frac{3}{2}xy+y^2\right).$$

Por lo que es suficiente para mostrar que el $x^2-\frac{3}{2}xy+y^2 \ge 0.$ Completar el cuadrado. Tenemos $$x^2-\frac{3}{2}xy+y^2=\left(x-\frac{3}{4}y\right)^2 -\frac{9}{16}y^2+y^2=\left(x-\frac{3}{4}y\right)^2 +\frac{7}{16}y^2.$$

Ahora hemos terminado. La expresión de la derecha es, obviamente, no negativo, ya que tanto $(x-(3/4)y)^2$ $(7/16)y^2$ son no-negativos. De hecho, "casi siempre" la expresión es $>0$. La única manera que puede ser $0$ es si ambos $y$$x-(3/4)y$$0$, es decir, si $x$ $y$ ambos $0$.

Comentario: Esto se parece a un "dos variables del problema", pero realmente no lo es. Tenga en cuenta que nuestra desigualdad es claramente cierto si $y=0$. Así que a partir de ahora podemos asumir que $y \ne 0$. Para $y \ne 0$, nuestra desigualdad es equivalente a $$\frac{2x^2-3xy+2y^2}{y^2} \ge 0,$$ que a su vez es equivalente a mostrar que la $$2z^2-3z+2 \ge 0,$$ donde $z=x/y$. Ahora estamos en una variable del problema. Un enfoque estándar es (de nuevo) al completar el cuadrado, pero hay otras formas de abordar el problema. Por ejemplo, tenga en cuenta que $2z^2-3z+2$ sin duda $>0$ a veces. Con el fin de ser $<0$ a veces, tendría que ser $0$ algunos $z$. Pero es fácil verificar usando la Fórmula Cuadrática que la ecuación de $2z^2-3z+2=0$ no tiene soluciones reales.

Answer 2

Si pudieras mostrar que esta es la suma de cuadrados, entonces estarías listo. Por ejemplo, sabes$x^2-2xy+y^2= (x-y)^2 \ge 0$.

El término del problema en la expresión de la pregunta es$-3xy$, que se parece un poco al$-2xy$ que acabo de mencionar. Así que separa el$\frac{3}{2}$ de la expresión anterior, para dar$$\frac{3}{2}(x^2-2xy+y^2) + \frac{1}{2} x^2 +\frac{1}{2} y^2$ $

y dado que esta es la suma de fracciones positivas de cuadrados, no es negativa.

Answer 3

Factor$2y^2$ para obtener$E(x,y)=2x^2-3xy+2y^2=2y^2((\frac{x}{y})^2-\frac{3}{2}\frac{x}{y}+1)$. El caso$y=0$ se resuelve porque$E(x,0)=2x^2\geq 0$. El problema se reduce a determinar el signo de$F(t)=t^2-\frac{3}{2}t+1$ avec$t=\frac{x}{y}$. ¿Cuál es el discriminante de F?

Answer 4

Consideremos dos casos, (i)$xy<0$, (ii)$xy\ge0$.

(i) En este caso$-3xy>0$, y como$x^2, y^2 > 0$, tenemos$2x^2-3xy+y^2 > 0$.

(ii) En este caso$(2x^2-3xy+2y^2) \ge (2x^2-3xy+2y^2)-xy = 2(x^2-2xy+y^2) = 2(x-y)^2 \ge 0$.

Como los casos (i) y (ii) son exhaustivos (para real x, y), tenemos$2x^2-3xy+2y^2 \ge 0$.