Aumento del polinomio con coeficientes reales

Question

Permita que$P$ sea polinomial con coeficientes reales tales que$P(0)=0$ y$P$ aumentan para$x>0$. Quiero maximizar$|P(z)|$ en un disco cerrado (complejo)$D(x,r)$ con center$x$ y radio$r$, donde$x>0$ y$0<r<x$. Más precisamente, quiero saber si el máximo se alcanza necesariamente en$x+r$ o no.

Si también asumimos que los coeficientes de$P$ son positivos, entonces puedo demostrar que esto se cumple. Pero, ¿es en general cierto?

Answer 1

Contraejemplo: defina$p(z) = 1 + (z-1) -(z-1)^3 + (z-1)^5.$ Entonces$p(0)=0,$ y$p'(z) = 1 -3(z-1)^2 + 5(z-1)^4.$ Porque$1-3u+5u^2 > 0$ para$u,$% real tenemos$p'(z) > 0$ para todos los$z.$$p$% aumenta estrictamente el$\mathbb R.$

Considere los discos cerrados$D(1,r), 0<r<1.$ As$r\to 1^-,$ que tenemos

ps

mientras

ps

Como$$p(1+r) = 1+r -r^3 + r^5 \to 2,$ debemos tener$$|p(1+ri)| = |1 +i(r+r^3 + r^5)| \to |1+3i| = \sqrt {10}.$ para$\sqrt {10} > 2,$ cerca de, pero menos que,$|p(1+ri)|>p(1+r)$