¿$n+1$ Divide$\binom{an}{bn}$?

Question

Supongamos que$a>b>0$ son enteros. ¿Es cierto que para un entero$n>2$ que

ps

o hay un contraejemplo. Ciertamente, creo que el lado derecho se reduciría a

ps

Pero no veo cómo esto podría reducirse mejor para mostrar que queda un factor de$$n+1|\binom{an}{bn}$.

Los ejemplos muestran que esto es cierto para n pequeño; por ejemplo

ps

ps

Answer 1

Hay un contraejemplo.

Tomar $(n,a,b)=(3,5,1)$.

$\binom{5\times 3}{1\times 3}=455$ no es divisible por$4$.

Answer 2

Aquí hay un contraejemplo más grande:$a=6,b=2,n=4$, luego$n+1$ no es un múltiplo de$\binom{an}{bn}$.

Otro es dado por$a=5,b=2,n=5$.

Además, tenga en cuenta que$\binom{an}{bn} = \binom{an}{(a-b)n}$, por lo tanto, reemplazando$b$ con$a-b$ también funcionaría.

Todavía estoy pensando en$b > 2$ (además de tomar$b \to a-b$ obviamente) sin embargo. No he podido encontrar un ejemplo todavía.

Answer 3

Como contraejemplos por cada$n=p-1$ para cualquier primer$p$% y considerando$a=n+2=p+1$ y cualquier$b$ con$0 \lt b \lt a$

Entonces$(an)! = (p^2-1)!$ es divisible por$p^{p-1}=p^n$ pero no$p^{p}=p^{n+1}$, mientras que$(bn)!(an-bn)!$ es divisible por$p^{b-1}p^{a-b-1}=p^{n}$, entonces${an \choose bn}$ no es divisible por$p=n+1$

Esto da, por ejemplo, los contraejemplos

 n   a   b   C(an,bn)  n+1   
1   3   1          3    2
2   4   1         28    3
2   4   2         70    3
2   4   3         28    3
4   6   1      10626    5
4   6   2     735471    5
4   6   3    2704156    5
4   6   4     735471    5
4   6   5      10626    5
6   8   1   12271512    7
...