¿Se siguen estudiando los "grupos de transformación topológica" en la investigación actual?

Question

Estaba mirando el libro de Gottschalk y Hedlund sobre Dinámica Topológica; utiliza grupos de transformación topológica al principio y términos como Unimorfismo, que parecen oscuros en la literatura actual. ¿No es la dinámica topológica en general un área de investigación activa ahora?

Answer 1

La dinámica topológica es un término muy amplio con varias subdisciplinas muy activas o áreas estrechamente relacionadas (dinámica simbólica, dinámica homogénea, teoría de los continuos, teoría de la foliación, teoría ergódica, etc.).

Puede ser que los grupos de transformación topológica no sean actualmente un área de investigación activa (aunque puede ser, no conozco la literatura lo suficientemente bien. [ Editar ] véase la respuesta de Moishe Cohen), pero la dinámica topológica como disciplina es activa y próspera, con conferencias internacionales regulares y muy concurridas. Me vienen a la mente la Spring Topology and Dynamical Systems Conference y la Summer Conference on Topology and Its Applications, que siempre se centran en la dinámica, así como muchas otras.

Tal vez las cosas hayan cambiado tanto de nomenclatura como de enfoque desde los años 50, pero la actividad no parece haber disminuido mucho.

Answer 2

La gente sigue trabajando en los grupos de transformación topológica, aunque el área no es tan activa como en los años 1940-1960. Uno de los principales problemas abiertos en esta área es el Conjetura de Hilbert-Smith que establece que si un grupo topológico localmente compacto $G$ actúa fielmente sobre una variedad topológica $M$ entonces $G$ es un grupo de Lie. Recientemente John Pardon demostró esta conjetura para las variedades tridimensionales:

J. Pardon, The Hilbert-Smith conjecture for three-manifolds. J. Amer. Math. Soc. 26 (2013), no. 3, 879-899.