Encontrar un primo que divide a $14^7+14^2+1$

Question

Como dice el titulo buscamos

Encontrar un primo que divide a $14^7+14^2+1$

Hay una advertencia, sin embargo. Esto fue parte de un concurso para estudiantes de secundaria, de modo de pregrado de la Teoría de números herramientas tales como la aritmética modular se debe evitar si queremos permanecer fieles al espíritu de la competición.

Dicho esto, me hizo comprobar que emplean exactamente estas herramientas-que si $p$ es el, dijo el primer, a continuación,$p\neq2,3,5,7$.

Probablemente alguna forma de simplificar la expresión es necesaria para solucionar el problema, pero se me escapa.

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La primera formulación de esta pregunta fue "encontrar el más pequeño de tales prime". Esto es altamente improbable que sea alcanzado por la pluma y el papel en el plazo de un concurso. Para más detalles sobre la razón por la que uno puede ver en @lulu respuesta a continuación.

Como se señaló en los comentarios de @JyrkiLahtonen, una pregunta similar fue publicado antes.

Ver aquí , así como para las respuestas.

Answer 1

Podemos factor del polinomio $$x^7+x^2+1=(x^2+x+1)\times (x^5-x^4+x^2-x+1)$ $

Dejando $x=14$ muestra que el $211$ es un factor primordial. Todavía tienes que demostrar es el factor menos privilegiado, pero al menos se puede trabajar con un número menor.

Answer 2

La razón por la que puede obtener un factor de inmediato es que el$7 \equiv 1 \pmod 3.$, Como resultado, tanto trivial raíces de la unidad son las raíces de $x^7 + x^2 + 1,$ lo que significa que $(x - \omega)(x- \omega^2) = x^2 + x + 1$ debe dividir el polinomio $x^7 + x^2 + 1.$ Aquí $\omega^3 = 1$ pero $\omega \neq 1$

Si esto parece incómodo, sólo ten en cuenta que $x^2 + x + 1$ es el polinomio mínimo de a $\omega$ $\mathbb Q,$ y debe dividir cualquier polinomio para que $\omega$ es una raíz. Por otra parte, el teorema de Gauss en el contenido que se nos dice que el cociente polinomio tiene coeficientes enteros, no sólo racional.

Similar: el polinomio $x^{141} + x^{93} + x^{82} + x^{44} + 1$ es divisible por $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1,$ considere la posibilidad de una quinta parte de la raíz de la unidad.

Answer 3

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