Conozco la prueba estándar que $\log_{10}(2)$ es irracional. ¿Podemos demostrar la irracionalidad de $\log_{10}(\log_{10}(2))$ utilizando, de alguna manera, métodos similares?
Respuesta
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No, no podemos. Pero se puede hacer con el uso de métodos más duros. Si $\log_{10}(\log_{10}2)$ fueran racionales, eso haría que $\log_{10}2$ una potencia racional de 10, y por lo tanto un algebraico número, lo que a su vez violaría la Teorema de Gelfond-Schneider .
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¿A qué prueba estándar se refiere?
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Si $log_{10}(2)=\frac{m}{n}$ entonces $2^n=10^m$ que es imposible.
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Déjalo: $$log_{10}(log_{10}2)=-\frac{m}{n}$$ donde $m,n\in Z^{+}$ , $m<n$ (estas propiedades se observan en el gráfico $y=log_{10}(x)$ ) y $gcd(m,n)=1$ $$\Rightarrow log_{10}2=10^{-\frac{m}{n}}$$ $$\Rightarrow (log_210)^{n}=10^{m}$$ Me parece casi un callejón sin salida...