Deje $\xi_1,\xi_2\cdots$ ser no negativo, independiente de variables aleatorias con $\xi_n$ tener distribución $\lambda_n \exp(-\lambda_n x)dx$, $x\geq0$ y $\lambda_n>0$. Suponga $\sum_{n=1}^\infty \lambda_n^{-1}=\sum_{n=1}^\infty E(\xi_n)=\infty$, muestran que $\sum_{n=1}^\infty \xi_n = \infty$.s.
Esta es una tarea problema, me había encontrado con el mismo problema aquí( $X_n \sim \text{Exponential}(\lambda_n)$, independiente, $\sum 1/\lambda_n = \infty$,, $\sum X_n=\infty$.s.), pero yo no tengo la característica de funcionar como herramienta aún, no sé cómo de otra manera para comprobar $P\{\sum_{n=1}^\infty\xi_n = \infty\} \neq 0$ después de usar el cero - uno de la ley.
BTW, voy a aceptar la función característica método aunque si no hay otra limpia prueba se encuentra(no sé cómo paso 3 en el enlace de arriba te da la contradicción después de la obtención de la función característica.)
Respuestas
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Un barato truco es usar la dominación de una variable simétrica. Definir $$X_n=\begin{cases} 0&\text{ if %#%#%}\\ \lambda_n^{-1}\ln(2)&\text{ otherwise.} \end{casos}$$
Desde $\xi_n\leq\lambda_n^{-1}\ln(2)$ es la media de $\lambda_n^{-1}\ln(2)$ cada variable $\xi_n,$ se distribuyen simétricamente alrededor de su media: tiene probabilidad de $X_n$ de ser cero y la probabilidad de $\tfrac 1 2$ de $\tfrac 1 2$
Desde $\lambda_n^{-1}\ln(2).$ diverge, hay una secuencia $\sum_{n=1}^\infty\lambda_n^{-1}$ $0=n_1<n_2<\dots$ por cada $\sum_{n=n_k+1}^{n_{k+1}}\lambda_n^{-1}\ln(2)\geq 2$ Desde una suma de independiente simétrica variables es simétrica, las variables aleatorias $k.$ son simétricas, y la media de $Y_k=\sum_{n=n_k+1}^{n_{k+1}}X_i$ al menos $Y_k$ $1$ El caso de que $\mathbb P[Y_k\geq 1]\geq \tfrac 1 2.$ se produce por una infinidad de $Y_k\geq 1$ probabilidad de $k$ por el Borel-Cantelli lema. Y en ese caso, $1$ debe ser infinito.
La aplicación de la prueba de Kolmogorov tres de la serie teorema de inmediato da una prueba.
Poner las bromas a un lado, aquí es un lugar crudo solución. Estoy seguro de que habrá una más corta y más limpio solución, pero mi cerebro casi se ha dejado de funcionar...
Escribir $\beta_n = 1/\lambda_n$ por la sencillez y escribir $T_n = \lambda_n \xi_n$. Es fácil comprobar que $(T_n)$ son yo.yo.d. y tienen en común la distribución de $\operatorname{Exp}(1)$. También podemos escribir la $S_n = \sum_{k=1}^{n} \beta_k$.
Supongamos primero que $\beta_n / S_n \not\to 0$. Entonces no existe $\epsilon > 0$ $(n_k)$ tal que $\beta_{n_k} \geq \epsilon S_{n_k}$ todos los $k$. Entonces
$$ \sum_{j=1}^{n_k} \xi_j = \sum_{j=1}^{n_k} \beta_j T_j \geq \epsilon S_{n_k} T_{n_k} $$
y desde $\mathbb{P}(T_{n_k} \geq 1 \text{ i.o.}) = 1$ por el segundo Borel-Cantelli del lema, tenemos $\sum_{j=1}^{n_k} \xi_j \uparrow \infty$ con probabilidad uno. Esto demuestra el deseado de reclamación.
Supongamos ahora que $\beta_n / S_n \to 0$. Por un lado, para $\epsilon \in (0, 1)$ de Chebyshev de la desigualdad de los rendimientos
$$ \mathbb{P}\left( \sum_{j=1}^{n} \xi_j \leq \epsilon S_n \right) = \mathbb{P}\left( \sum_{j=1}^{n} \beta_j(1 - T_j) \geq (1-\epsilon) S_n \right) \leq \frac{1}{(1-\epsilon)^2 S_n^2} \sum_{j=1}^{n} \beta_j^2. $$
Por otro lado, por el Stolz-Cesaro teorema aplicado a $\frac{\beta_n^2}{S_n^2 - S_{n-1}^2} = \frac{\beta_n}{S_n + S_{n-1}} \to 0$, se deduce que el $\frac{1}{S_n^2} \sum_{j=1}^{n} \beta_j^2 \to 0$. A continuación, mediante la extracción de una larga $(n_k)$, de modo que
$$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{S_{n_k}^2} \sum_{j=1}^{n_k} \beta_j^2 < \infty $$
es satisfecho, Borel-Cantelli del lema dice que
$$ \mathbb{P}\left( \sum_{j=1}^{n_k} \xi_j > \epsilon S_{n_k} \text{ eventually} \right) = 1 - \mathbb{P}\left( \sum_{j=1}^{n_k} \xi_j \leq \epsilon S_{n_k} \text{ i.o.} \right) = 1. $$
Por lo tanto, la demanda sigue también en este caso.
