Probar o refutar: $\sqrt{1 + \sqrt{4+\sqrt{16+\sqrt{256...}}}} = \sqrt{2+\sqrt{5}}$

Question

Edit: Mi pregunta inicial fue con respecto a las expresiones:

$\sqrt{1 + \sqrt{4+\sqrt{16+\sqrt{64... + \sqrt{4^{n}}}}}}$

Y en general:

$\sqrt{1 + \sqrt{k+\sqrt{k^2+\sqrt{k^3... + \sqrt{k^{n}}}}}}$

Y sus límites, sin embargo, mi trabajo fuera estaba equivocado. Así que, si alguien puede explicar cómo encontrar los valores de las dos expresiones, que sería genial!

Esto es algo que he notado jugando con los radicales, y sinceramente no tengo mucha idea sobre cómo demostrarlo. Estos fueron mis ideas:

Deje $\sqrt{1 + \sqrt{4+\sqrt{16+\sqrt{256... + \sqrt{4^{2^n}}}}}} = A_n$

Mi lógica era la siguiente:

$A_n = \sqrt{1 + \sqrt{4+\sqrt{16+\sqrt{256... + \sqrt{4^{2^n}}}}}}$

$A_n^2 = 1 + \sqrt{4+\sqrt{16+\sqrt{256... + \sqrt{4^{2^n}}}}}$

$A_n^2 = 1 + 2\sqrt{1+\frac{1}{4}\sqrt{16+\sqrt{256... + \sqrt{4^{2^n}}}}}$

$A_n^2 = 1 + 2\sqrt{1+\sqrt{1+\frac{1}{16}\sqrt{256+... + \sqrt{4^{2^n}}}}}$

$A_n^2 = 1 + 2\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+... + \sqrt{1}}}}$

$A_{\infty}^2 = 1 + 2\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+... }}} = 1 + 2\phi = 2 + \sqrt{5}$

$A_{\infty} = \sqrt{2 + \sqrt{5}}$

Entonces, en lugar de este caso específico, ¿cómo podemos evaluar:

$L = \sqrt{1 + \sqrt{k+\sqrt{k^2+\sqrt{k^4+\sqrt{k^8+...}}}}}$

Nosotros también te $L = \sqrt{\sqrt{k}\phi + 1}$?

Y qué acerca de las expresiones tales como:

$\sqrt{1 + \sqrt{2+\sqrt{3+...}}}$

Gracias por las respuestas y guía!

Answer 1

Que $\phi_n:=\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots+\sqrt{1}}}$ ($n$ Plaza raíces); Tenga en cuenta que $\phi_n\to\phi$, la proporción áurea. Que $a_{n,r}:=\sqrt{k^{2^{r-n+1}}+\sqrt{\cdots+\sqrt{k^{2^r}}}}$. Para la inducción en $n$, asumir que $a_{n,r}=k^{2^{r-n}}\phi_n$. Entonces $$a_{n+1,r}=\sqrt{k^{2^{r-n}}+a_{n,r}}=\sqrt{k^{2^{r-n}}+k^{2^{r-n}}\phi_n}=k^{2^{r-n-1}}\phi_{n+1}$ $ el caso inicial $n=0$ es trivial verdad.

Así $\sqrt{k+\sqrt{\cdots}}=\lim_{r\to\infty}a_{r+1,r}=\lim_{r\to\infty}\sqrt{k}\phi_{r+1}=\sqrt{k}\phi$.

Por lo tanto, $\sqrt{1+\sqrt{k+\cdots}}=\sqrt{1+\sqrt{k}\phi}$.