SUP de medida de puntos de intersección

Question

Este es un problema que he pensado yo cuando viajaba en un coche, y no tengo idea de cómo resolverlo. Deje $f: [0,1] \to [0,1]$ ser bijection. Considerar la unidad de la plaza de $[0,1] \times [0,1]$, y la etiqueta de uno de los bordes $x$ y el borde opuesto $f(x)$. Conecte todos los puntos de $x$ $x$ de ventaja a sus correspondientes puntos de $f(x)$ $f(x)$ borde con líneas rectas. Para cualquier función de $f(x)$ como se describió antes, vamos a $A(f)$ el conjunto de puntos donde dos o más líneas se cruzan. La pregunta es esta. Si $\mu$ es la medida de Lebesgue, cuando se toman durante todo bijections $f(x)$ que $\mu(A(f))$ existe, ¿qué es $\sup \mu(A(f))$?

Claramente, teniendo en cuenta $$f(x) = \begin{cases} x + 1/2 & 0< x < 1/2 \\ x - 1/2 & x \geq 1/2\\ 1 & x = 0 \end{casos} $$ La plaza se ilustra en la imagen de abajo

de donde obtenemos que $$ \mu(A(f)) = 1/4$$ y así $$\frac{1}{4}\leq \sup \mu(A(f))\leq 1$$ La siguiente ilustración muestra lo que el cuadrado con las líneas de ve $f(x) = 1-x$. En este caso, $A(f)$ es claramente $\{(1/2,1/2)\}$ $\mu(A(f)) = 0$

Answer 1

El infinito puede ser complicado, y esta pregunta resultó ser no en cuanto a la forma, pero acerca de la cardinalidad.

La base de la propuesta de ejemplo es un contra-intuitivo hecho de que un cuadrado que contiene la mayor cantidad de puntos en un segmento (hablando rigurosamente, la cardinalidad $\frak c$ del segmento, llamado continuum es la misma que la de la plaza). Así que tenemos la suficiente cantidad de puntos en el segmento de $[0,1]$ a representar todos los puntos del cuadrado de $(0,1)\times (0,1)$ como puntos de intersección generado por un bijection $f$ del segmento, véase el Apéndice para una estándar sencilla prueba. Es altamente no-descriptivo, así que si vamos a requerir que el mapa de $f$ es medible, entonces el valor de la supremum puede cambiar. En particular, el problema permanece abierto cuando hay countably muchos discontinuo abrir los intervalos de $X_i=(x'_i,x''_i)$ y discontinuo abrir los intervalos de $Y_i=(y'_i,y''_i)$ tal que $f$ monótonamente mapas de $X_i$ a $Y_i$$\mu([0,1]\setminus \bigcup X_i)= \mu([0,1]\setminus \bigcup X_i)=0$.

La base del resultado de una notable historia, que he reconstruido a partir de Abraham (Adolf) Fraenkel la funciona de la siguiente manera.

Inicialmente, en la ingenua comprensión del infinito, todas las diferencias entre los números transfinitos no fueron vistos. Georg Cantor, el fundador de la teoría de conjuntos, también se cree que el unidimensional continuo es numerable, que es $\frak c=\aleph_0$ donde $\aleph_0$ denota la cardinalidad del conjunto de los números naturales. Sin embargo, en su papel de 1874 él demostró que $\frak c>\aleph_0$. Es decir, para cada secuencia de los números reales, el Cantor de las construcciones, mediante nested segmento principio, un número que no pertenece a ella. Que es el segmento y los números naturales no son equivalentes, a pesar de que ambos son conjuntos infinitos. Su primera conjetura a buscar incluso superior transfinito cardenales fue progresando a partir de la uno-dimensional proceso multi-dimensional continua. Cuando sus intentos para demostrar $\frak c\cdot \frak c>\frak c$ fracasaron había hablado con algunos de los principales matemáticos, quien le aconsejó que esta desigualdad se auto-evidente y no requiere de prueba; de lo contrario, no habría distinción entre las funciones de uno y de más variables o entre diferentes dimensiones. Por este motivo, uno de los Cantores amigos en Berlín le dijo que su idea de construir un mapeo de un uno-dimensional continuidad a un continuo multidimensional es absurdo por defecto. Sin embargo, en el pasado, en 1877 Cantor propuesto una asignación por medio de expansiones decimales (su primera prueba fue sufrido de la deficiencia; luego de la publicación de una correcta prueba en 1878, se reunió con un retraso causado por Kronecker y finalmente se hizo posible sólo con la ayuda de Weierstrass). El resultado, la refutación de su valor inicial $\frak c\cdot \frak c>\frak c$, fue inesperado, incluso para para el Cantor mismo, que escribió a Dedekind en 1877, 21 de julio : "je le vois, mais je ne le crois pas" ("lo veo, pero yo no lo creo").

Apéndice

Tenemos $A(f)=(0,1)\times (0,1)$ para el mapa de $f$ determina de la siguiente manera. Deje $X$ ser una dencia conjunto de $[0,1]$ tal que $|X|=|[0,1]\setminus X|=\frak c$ (por ejemplo, podemos poner el $X=[0,1]\setminus C$ donde $C$ es el conjunto de Cantor), y $\{z_\alpha:\alpha<\frak c\}$ ser una enumeración de los puntos de la plaza abierta $(0,1)\times (0,1)$. Por inducción transfinita para cada una de las $\alpha<\frak c$ podemos definir subconjuntos $X_\alpha=\{x'_\beta, x''_\beta:\beta<\alpha\}$ $Y_\alpha=\{y'_\beta , y''_\beta:\beta<\alpha\}$ $X$ y los distintos puntos de $x'_\alpha, x''_\alpha\in X\setminus X_\alpha$, $y'_\alpha, y''_\alpha\in X\setminus Y_\alpha$ tal que $z_\alpha$ es un punto de intersección de los segmentos $[(x'_\alpha,0), (y'_\alpha,1)]$$[(x''_\alpha,0), (y''_\alpha,1)]$. Queda por colocar $f(x'_\alpha)=y'_\alpha$, $f(x''_\alpha)=y''_\alpha$ para cada una de las $\alpha<\frak c$ $f|[0,1]\setminus X_\frak c$ cualquier bijection entre el$[0,1]\setminus X_\frak c$$[0,1]\setminus Y_\frak c$.