¿Qué desigualdades uno debe saber evaluar límites con fluidez?

Question

Durante el curso de cálculo, a menudo utilizamos desigualdades común para calcular los términos de una secuencia y encuentra su límite en el extremo. El problema es que estas desigualdades, obvias aunque puede ser, rara vez vienen a la mente si no se ha usado para resolver problemas similares por lo menos una vez. Que he enumerado algunas de ellas pero creo que hay más - lo que debo añadir a la lista?

1. Desigualdad de Bernoulli
2. $n! > 2^n \iff n \ge 4$
3. $2^n > n^2\iff n \ge5$

Answer 1

$-1\leq \sin(x)\leq 1$, y lo mismo es cierto para $\cos$

La desigualdad de AM-GM es tan popular que tiene su propia etiqueta en este sitio.

Esta desigualdad que implica la función de elegir es bastante utilizado cuando la función de elegir o función exponencial surgen la $$\frac{n^k}{k^k}\leq {n\choose k}\leq\frac{n^k}{k!}\leq \frac{(n\cdot e)^k}{k^k}$ $

Answer 2

Una buena cosa a tener en cuenta es la jerarquía de funciones comunes. En forma sintética

Para todos $a∈ℝ$, $b⩾1$, $c>1$, $d>1$ y $x>1$

$$ un ≺ \log(\log(n)) ≺ \log(n)^b ≺ n^{\frac{1}{c}} ≺ n ≺ n \log(n) ≺ n^d ≺ x^n ≺ n!≺ n^n $$

al $n⟶+∞$, el uso de Hardy notaciones para asintótica domination1.

Tenga en cuenta que esto no proporcionan el $N$ donde uno será superior a la otra, aunque.

Usted también puede derivar comparaciones útiles de la Théorème de croissances comparées para que yo no sé de ningún equivalente en la literatura inglesa, sino que simplemente es la siguiente

Para todos los $a>0$ $b>0$ $$ x^a = o_ {+∞} e^{bx}) $$ $$ \ln(x)^a = o_{+∞}(x^b) $$ y $$ \lvert\ln(x)\rvert^a = o_{0}(x^b) $$

---

_{1. Que está en mal estado, porque esos son obsoletos, pero no hay otras conveniente notaciones para asintótico de la dominación como una estricta parcial) de la orden. Lo que me enseñaron fue que el Vinogradov la notación $f ≪ g$ se sitúa por $f=o(g)$, pero al parecer es $f=O(g)$ lugar. Realmente necesitamos una normalización de esas cosas.}

Answer 3

Son dos cosas útiles de saber en el cálculo de límites:

• Para todos los $a>1,\alpha > 0$, existe un $N$ tal que $\log_a n < n^\alpha$ $n>N$
• Para todos los $a>1, \alpha > 0$, existe un $N$ tal que $a^n > n^\alpha$ % todo $n>N$

En otras palabras, la función exponencial es más rápido que cualquier potencia y registro es más lento que cualquier poder.

Answer 4

Para cualquier función tal que

$$x\in(a,b)\implies f''(x)>0$$

entonces

$$c,x\in[a,b]\implies f(c)+f'(c)(x-c)\le f(x)$$

$$c,d\in[a,b],~x\in[c,d]\implies f(c)+\frac{f(c)-f(d)}{c-d}(x-c)\ge f(x)$$

Más claro si ver hacia fuera. Todas las desigualdades volteado cuando $f''(x)<0$.

---

Por ejemplo,

$$x\in(-\infty,\infty)\implies1+x\le e^x$$

$$x\in[0,\pi]\implies x\ge\sin(x)$$

Muchas desigualdades común pueden derivarse de esto. (Aunque Nota tienes que tomar el derivado, así que no se usa para probar derivados fundamentales.)

Answer 5

En general, uno ya debe ser consciente de las desigualdades más famoso y elementales como AM-GM. También han anotado la desigualdad de Bernoulli, que es mucho más simple, menos famosos y altamente potente y útil de maneras inesperadas. Aparte de las conocidas (aquellos con un nombre) encontrar el siguiente trato:

• $\sin x<x<\tan x$ $x\in(0,\pi/2)$.
• $\log x\leq x-1$ $x>0$.
• $e^{x} \geq 1+x$ % reales todos $x$.