He llegado recientemente a través de un resultado extraño al comparar el Hamiltoniano y de Lagrange formulaciones de la mecánica clásica.
Supongamos que estamos trabajando en el régimen en el que podemos decir que el Hamiltoniano $H$ es igual a la energía total $$H=T+V.\tag{1}$$ That is, the constraints are holonomic and time-independent, and the potential is $V=V(q)$ where $p$ a the generalized position vector $q=(q_1,q_2,\ldots,q_n)$. Let $$L=T-V\tag{2}$$ ser el Lagrangiano.
Ahora, el de Euler-Lagrange las ecuaciones nos dicen $$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_\sigma}} - \frac{\partial L}{\partial q_\sigma} = 0,\tag{3}$$ para la generalización de coordinar $q_\sigma,$$\sigma\in\{1,\ldots,n\}$.
También sabemos que el conjugado momenta se definen por $p_\sigma = \frac{\partial L}{\partial \dot{q_\sigma}}$. Por lo que esta ecuación nos dice $$\dot{p_\sigma} - \frac{\partial L}{\partial q_\sigma} = 0.\tag{4}$$
En el formalismo Hamiltoniano, sabemos que $$\dot{p_\sigma} = -\frac{\partial H}{\partial q_\sigma}.\tag{5}$$
La combinación de estos da $$\frac{\partial H}{\partial q_\sigma}=-\frac{\partial L}{\partial q_\sigma}.\tag{6}$$
Ahora, esto parece muy extraño, porque en el régimen que estamos considerando, esto implica que $$\frac{\partial (T+V)}{\partial q_\sigma}=-\frac{\partial (T-V)}{\partial q_\sigma}\Rightarrow \frac{\partial T}{\partial q_\sigma}=0. \tag{7}$$
Por supuesto, hay muchos ejemplos en los que esto no es cierto. I. e., simplemente considerar que la partícula libre analizados utilizando coordenadas polares. Entonces tenemos $$H = L = T = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2),\tag{8}$$ y así $$\frac{\partial T}{\partial r } \neq 0.\tag{9}$$
¿Cuál es la explicación para este extraño discrepancia? Estoy haciendo un tonto error en alguna parte?