Aparente paradoja entre las formulaciones lagrangiana y hamiltoniana de la mecánica clásica

Question

He llegado recientemente a través de un resultado extraño al comparar el Hamiltoniano y de Lagrange formulaciones de la mecánica clásica.

Supongamos que estamos trabajando en el régimen en el que podemos decir que el Hamiltoniano $H$ es igual a la energía total $$H=T+V.\tag{1}$$ That is, the constraints are holonomic and time-independent, and the potential is $V=V(q)$ where $p$ a the generalized position vector $q=(q_1,q_2,\ldots,q_n)$. Let $$L=T-V\tag{2}$$ ser el Lagrangiano.

Ahora, el de Euler-Lagrange las ecuaciones nos dicen $$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_\sigma}} - \frac{\partial L}{\partial q_\sigma} = 0,\tag{3}$$ para la generalización de coordinar $q_\sigma,$$\sigma\in\{1,\ldots,n\}$.

También sabemos que el conjugado momenta se definen por $p_\sigma = \frac{\partial L}{\partial \dot{q_\sigma}}$. Por lo que esta ecuación nos dice $$\dot{p_\sigma} - \frac{\partial L}{\partial q_\sigma} = 0.\tag{4}$$

En el formalismo Hamiltoniano, sabemos que $$\dot{p_\sigma} = -\frac{\partial H}{\partial q_\sigma}.\tag{5}$$

La combinación de estos da $$\frac{\partial H}{\partial q_\sigma}=-\frac{\partial L}{\partial q_\sigma}.\tag{6}$$

Ahora, esto parece muy extraño, porque en el régimen que estamos considerando, esto implica que $$\frac{\partial (T+V)}{\partial q_\sigma}=-\frac{\partial (T-V)}{\partial q_\sigma}\Rightarrow \frac{\partial T}{\partial q_\sigma}=0. \tag{7}$$

Por supuesto, hay muchos ejemplos en los que esto no es cierto. I. e., simplemente considerar que la partícula libre analizados utilizando coordenadas polares. Entonces tenemos $$H = L = T = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2),\tag{8}$$ y así $$\frac{\partial T}{\partial r } \neq 0.\tag{9}$$

¿Cuál es la explicación para este extraño discrepancia? Estoy haciendo un tonto error en alguna parte?

Answer 1

El problema es que el Lagrangiano y Hamiltoniano son funciones de las diferentes variables, por lo que debe ser extremadamente cuidadoso cuando se comparan sus derivadas parciales.

Considerar los cambios diferenciales en $L$ $H$ como cambio de sus argumentos:

$$dL = \left(\frac{\partial L}{\partial q}\right) dq + \left(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\right) d\dot q$$

$$dH = \left(\frac{\partial H}{\partial q}\right) dq + \left( \frac{\partial H}{\partial p}\right) dp$$

Búsqueda de $\frac{\partial L}{\partial q}$ corresponde a menear $q$, mientras que la celebración de $\dot q$ fijo. Por otro lado, la búsqueda de $\frac{\partial H}{\partial q}$ corresponde a menear $q$, mientras que la celebración de $p$ fijo. Si $p$ puede ser expresada en función de $\dot q$ solamente, entonces estas dos situaciones coinciden, sin embargo, si esto depende también de la $q$, luego que no, y las dos derivadas parciales se refieren a dos cosas diferentes.

Explícitamente, escribir $p = p(q,\dot q)$. A continuación, utilizando la regla de la cadena, nos encontramos con que

$$dH = \left(\frac{\partial H}{\partial q}\right) dq + \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)\left[\frac{\partial p}{\partial q} dq + \frac{\partial p}{\partial \dot q} d\dot q\right]$$

Por lo tanto, si cambiamos $q$ pero $\dot q$ fijo, nos encontramos con que

$$ dL = \left(\frac{\partial L}{\partial q} \right)dq$$ mientras $$ dH = \left[\left(\frac{\partial H}{\partial q} \right) + \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)\left(\frac{\partial p}{\partial q} \right)\right]dq$$

Si $L(q,\dot q) = H(q,p(q,\dot q))$ como en el caso de una partícula libre, entonces nos encontraríamos con que

$$dL = dH$$ así $$\left(\frac{\partial L}{\partial q}\right)= \left(\frac{\partial H}{\partial q} \right) + \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)\left(\frac{\partial p}{\partial q} \right)$$

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Podemos comprobar esto para la partícula libre en coordenadas polares, donde $$L = \frac{1}{2}m(\dot r^2 + r^2 \dot \theta^2)$$ $$ H = \frac{p_r^2}{2m} + \frac{p_\theta^2}{2mr^2}$$ $$ p_r = m\dot r \hspace{1 cm} p_\theta = mr^2 \dot \theta$$

para el lado izquierdo,

$$ \frac{\partial L}{\partial r} = mr \dot \theta^2$$

Para el lado derecho, $$ \frac{\partial H}{\partial r} = -\frac{p_\theta^2}{mr^3} = -mr\dot\theta^2$$ $$ \frac{\partial H}{\partial p_\theta} = \frac{p_\theta}{mr^2} = \dot \theta$$ $$ \frac{\partial p_\theta}{\partial r} = 2mr\dot \theta$$ así $$ \frac{\partial H}{\partial r} + \frac{\partial H}{\partial p_\theta} \frac{\partial p_\theta}{\partial r} = -mr\dot \theta^2 + (\dot \theta)(2mr\dot \theta) = mr\dot \theta^2$$

como era de esperar.

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Su error fue sutil, pero común. En termodinámica, usted encontrará a menudo cantidades escrito como este:

$$ p = -\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N}$$

lo que significa que

La presión de $p$ es igual a menos la derivada parcial de la energía interna $U$ con respecto al volumen $V$, la celebración de la entropía $S$ y de partículas de número de $N$ constante

Esto nos recuerda precisamente lo que las variables se mantiene constante al realizar nuestra diferenciación, por lo que no cometer errores.

Answer 2

Si usted mira a los valores de las funciones: $$ H(q,p) = T(q,p) + V(q,p)\\ L(q, \dot{p}) = T(q, \dot{q}) - V(q,\dot{q}) $$ con $$ T(q, \dot{p}) = T(q, p) $$ La Energía cinética como una función de la $q$ $\dot{q}$ y la Energía cinética en función de $q$ $p$ se supone que tienen el mismo valor. PERO eso no significa que sean la misma función. Si se escribe correctamente, usted debe escribir: $$ T(q, \dot{p}) = \tilde{T}(q, p) $$ Si usted mantenga esto en su mente, entonces la paradoja debe vannish.