La familia de funciones analíticas con parte real positiva es normal

Question

Estoy teniendo dificultad con el siguiente ejercicio en Ahlfors de texto", en la página 227.

Demostrar que en cualquier región de $\Omega$ la familia de funciones analíticas con parte real positiva es normal. Bajo qué condición añadida es localmente acotada? Sugerencia: Considerar las funciones $e^{-f}$.

Aquí es lo que he intentado:

Voy a empezar con un comentario:

Al parecer, Ahlfors nos quiere mostrar que la familia es "normal" en el sentido clásico". Es decir, cada secuencia de funciones en la familia tiene una larga que converge uniformemente en compactos de subconjuntos o tiende de manera uniforme a $\infty$ sobre subconjuntos compactos. Para ver por qué esto es la definición correcta, considere la secuencia de $f_n(z)=n$. Está contenida en la familia, pero no tiene apropiados larga (en el sentido de la definición 2 en el texto con $S=\mathbb C$).

Ahora, al intento de sí mismo:

Deje $\Omega \subset \mathbb C$ ser un fijo de la región, y de considerar a la familia $$\mathfrak F=\{f: \Omega \to \mathbb C | f \text{ is analytic and } \Re(f) >0 \}. $$ Nos gustaría mostrar que $\mathfrak F$ es normal en el sentido clásico. Siguiendo la sugerencia, examinamos la familia $$ \mathfrak G=\{e^{-f}:f \in \mathfrak F \}.$$

$\mathfrak G$ es localmente acotada (desde $|e^{-f}|=e^{- \Re (f)}<1$ por cada $f \in \mathfrak F$), por lo que es normal con respecto a $\mathbb C$ (teorema 15), y que, obviamente, es normal en el sentido clásico así.

Deje $\{ f_n \}$ ser una secuencia en $\mathfrak F$, y considerar la secuencia de $\{ g_n \}=\{e^{-f_n} \}$$\mathfrak G$. De acuerdo a la normalidad se ha convergente subsequence $\{ g_{n_k} \}=\{e^{-f_{n_k}} \}$ que converge uniformemente en compactos de subconjuntos de a $\Omega$ a alguna función $g$ (que es analítica por Weierstrass' teorema).

Desde cada una de las $\{ g_{n_k} \}$ es nonvanishing, la función de límite de $g$ es idéntica a cero, o no fuga (Hurwitz del teorema). En el primer caso, es fácil mostrar que la subsequence $\{ f_{n_k} \}$, obtenido por los mismos índices, tiende a $\infty$ uniformemente en compactos de conjuntos. Por lo tanto, vamos a suponer que a partir de ahora que $g(z) \neq 0$ todos los $z \in \Omega$.

Hasta ahora, yo estaba tratando de demostrar que el subsequence $\{ f_{n_k} \}$ funciona en todos los casos, pero, lamentablemente, este no es el caso. Considerar la secuencia de $f_n(z) \equiv 1+2 \pi i (-1)^n \in \mathfrak F$. En ese caso $g_n(z)=e^{-1}$, y la admisibilidad de una larga es $g_{n_k}=g_k=e^{-1}$. Sin embargo, $f_{n_k}=1+2 \pi i (-1)^k$ diverge en todas partes.

Puede alguien por favor me ayude a terminar esta prueba? O tal vez darme algunos consejos?

Gracias!

Answer 1

Sería mucho más simple para demostrar el resultado teniendo en cuenta que la familia obtiene mediante la composición con la transformación de Möbius $$z \mapsto \frac{z-1}{z+1}$$ que los mapas de la mitad derecha del plano biholomorphically a la unidad de disco.

Pero bueno, echemos un vistazo a lo que tenemos desde la consideración de $e^{-f}$. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que toda la secuencia $e^{-f_n}$ converge de forma compacta a un valor distinto de cero de la función $g$.

Como se observó, que aún no garantiza que la secuencia de $f_n$ sí converge de forma compacta para un holomorphic función. Así que vamos a arreglar algunos $z_0 \in \Omega$ y considerar la secuencia de $f_n(z_0)$. La secuencia converge a $\infty$, o podemos extraer una larga convergente a un número complejo.

Considere primero el caso en el que se puede extraer de una larga convergente a un número complejo. Sin pérdida de generalidad, supongamos toda la secuencia converge a $w_0 \in \mathbb{C}$. En un barrio de $e^{-w_0}$, hay una rama del logaritmo $\log e^{-w_0} = -w_0$ definido.

A continuación, $f_n$ converge uniformemente a $\log g$ en un barrio de $z_0$.

Si $f_n(z_0) \to \infty$, luego, tomando una rama del logaritmo en un barrio de $g(z_0)$, obtenemos una secuencia $k_n$ de enteros con $\lvert k_n\rvert \to \infty$$f_n(z_0) - 2\pi i k_n \to \log g(z_0)$. Así, la secuencia $f_n - 2\pi i k_n$ converge uniformemente a una holomorphic función en un barrio de $z_0$, y desde $\lvert k_n\rvert \to \infty$, la secuencia de $f_n$ sí converge uniformemente a $\infty$ en un barrio de $z_0$.

Queda por ver que la convergencia uniforme de una holomorphic función o $\infty$ se extiende (como localmente convergencia uniforme) a todos los de $\Omega$.

Deje $A = \{z \in \Omega : f_n(z) \to \infty\}$$B = \{z \in \Omega : f_n(z) \text{ is bounded}\}$$C = \Omega \setminus (A\cup B)$.

El argumento anterior muestra que todos los, $A$, $B$ y $C$ están abiertos, y son disjuntos. Desde $\Omega$ está conectado, tenemos $\Omega = A$, $\Omega = B$, o $\Omega = C$. Por haber extraído la larga convergentes (a $\infty$ o $w_0$)$z_0$, hemos decidido que $z_0 \notin C$, por lo tanto $C = \varnothing$, lo $\Omega = A$ si $f_n(z_0) \to \infty$, e $\Omega = B$ si $f_n(z_0) \to w_0$.

Answer 2

Este es un intento de complementar Daniel Fischer respuesta. Espero que proporciona información útil (si es que en realidad correcto - tengo mis dudas).

Empecé con la misma observación acerca de la Fraccional Lineal Mapa de $w \to \frac{w-1}{w+1}$.

Definir como la anterior, una nueva familia se $\mathfrak{G}$$g(z) = \frac{f(z)-1}{f(z)+1}$.
Esta familia es normal en el "no-clásica" en el sentido (Ahlfor Definición #2, p.220), ya que cada función $g$ toma valores en el disco unidad.

Como un localmente acotada de la familia, la familia de los derivados de $g'$ funciones $g \in \mathfrak{G}$ es en sí mismo un localmente acotada de la familia. La diferenciación, espero que podamos conseguir $$ g'(z) = 2 \frac{f'(z)}{(1+f(z))^2} $$ Muy bien tenemos $$ \frac{2|f'(z)|}{1 + |f(z)|^2} \le \frac{4|f'(z)|}{|1+f(z)|^2} = 2 |g'(z)| $$ Ahora aplica el Marty del Teorema (Teorema de Ahlfors 17 p.226) para obtener ese $\mathfrak{F}$ es normal en el sentido clásico.

También tengo ningún sugerencias para la segunda parte de la pregunta, salvo en el decreto que hay un punto en el dominio en el que $\mathfrak{F}$ está acotada.