Uncountability de base de $\mathbb R^{\mathbb N}$

Question

Dado espacio del vector $V$ $\mathbb R$ tal que los elementos de $V$ infinito-tuplas. ¿Cómo mostrar que cualquier base de ella es incontable?

Answer 1

Tomar cualquier casi la desunión de la familia $\mathcal A$ de los infinitos subconjuntos de a $\mathbb N$ con cardinalidad $2^{\aleph_0}$. La construcción de tales conjuntos se da aquí.

I. e. para cualquiera de los dos set $A,B\in\mathcal A$ la intersección $A\cap B$ es finito.

Observe que $$\{\chi_A; A\in\mathcal A\}$$ es un subconjunto de a $\mathbb R^{\mathbb N}$ que tiene cardinalidad $2^{\aleph_0}$.

Vamos a mostrar que este conjunto es linealmente independiente. Esto implica que la base debe tener cardinalidad, al menos,$2^{\aleph_0}$. (Ya que cada conjunto independiente está contenida en una base - esto puede ser mostrado usando Zorn lema. Usted puede encontrar la prueba en muchos lugares, por ejemplo estas notas sobre aplicaciones de Zorn lema por Keith Conrad.)

Supongamos que, por el contrario, $$\chi_A=\sum_{i\in F} c_i\chi_{A_i}$$ para algunas conjunto finito $F$ $A,A_i\in\mathcal A$ (donde$A_i\ne A$$i\in F$). El conjunto $P=A\setminus \bigcup\limits_{i\in F}(A\cap A_i)$ es infinito. Para cualquier $n\in P$ tenemos $\chi_A(n)=1$$\sum\limits_{i\in F} c_i\chi_{A_i}(n)=0$. Por lo que la anterior igualdad no puede sostener.

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Usted puede encontrar una prueba acerca de la dimensión del espacio de $\mathbb R^{\mathbb R}$ (junto con algunos datos básicos sobre bases de Hamel) aquí: Qué $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ tienen una base?

De hecho, se puede demostrar que ya espacios más pequeños debe tener dimensión $2^{\aleph_0}$, ver la Cardinalidad de una base de Hamel.

Answer 2

Me gusta la siguiente solución (un colega mío me dijo acerca de él):

Para cualquier $a\in\mathbb R$ tenemos una secuencia $\widehat a=(1,a,a^2,\dots,a^k,\dots)$.

El conjunto $\{\widehat a; a\in\mathbb R\}$ es linealmente independiente. (Para ver esto simplemente observe que si usted elige $n$ secuencias de este conjunto, a continuación, la primera $n$ coordenadas de estas secuencias de la forma de la matriz de Vandermonde.)

Así pues, tenemos una linealmente independientes de la cardinalidad $\mathfrak c$. Por lo tanto la cardinalidad de cualquier base de Hamel es, al menos,$\mathfrak c$.

Al mismo tiempo, la cardinalidad de todo el espacio es $|\mathbb R^{\mathbb N}|=\mathfrak c^{\aleph_0}=\mathfrak c$, por lo que la base no puede tener más de $\mathfrak c$ elementos. Así, la Hamel dimensión de este espacio es $\mathfrak c$.