¿Es $ L^{\infty} $ un límite directa o inversa límite del sistema dirigido $ (L^p , i_{p}^q )_{p,q \in [1 , + \infty [ } $?

Question

Que $X$ ser un espacio de medida finita. Entonces, para cualquier $ 1≤p<q≤+∞ $: $ L^q(X,B,m)⊂L^p(X,B,m) $. Me gustaría saber si el % de espacio $ L^{\infty} ( X , B , m ) $es el límite directo o el inverso límite del sistema directo o la inversa sistema $ ( L^p ( X , B , m ), i_{p}^q )_{p \in [1 , + \infty [ } $ $ i_{p}^{q} : L^q ( X , B , m ) \to L^p ( X , B , m ) $ una incrustación.

Muchas gracias por tu ayuda.

Answer 1

Ya que no nos dicen lo que los mapas asociados con $j^\infty_p:L^\infty(X,B,m)\rightarrow L^p(X,B,m)$ se supone que debe ser, estoy asumiendo que $j^\infty_p$ mapas integrable, esencialmente limitado funciones a sí mismos y no integrable esencialmente limitado de las funciones de a $0$.

Este conjunto de mapas con su $i^q_p$ crea un diagrama de desplazamientos (hay una pequeña preocupación que esencialmente limitado integrable función puede no estar en todas las $L^p$, pero esta pregunta direcciones). Ahora si $L^\infty$ satisface el universal de la propiedad es otro asunto. La perspectiva de que tenemos que preocuparnos es si hay o no hay un $f$ tal que $f\in L^p$ todos los $p$ pero $f\not\in L^\infty$. Si esto sucede, podemos considerar el lapso de $f$ como un espacio de Banach (o espacio vectorial en sí ( $V$ ) y la colección de la inclusión de mapas a partir de este subespacio en cada una de las $L^p$ (vamos a llamar a estos inclusión de mapas de $k_p$). Esto creará otro conmutativo el diagrama. Por lo tanto si $L^\infty$ eran el límite inversa, habría un único mapa $u:V\rightarrow L^\infty$ tal que $k_p=j^\infty_p\circ u$ todos los $p$. Sin embargo $u$ tendrá que enviar a $f$ a una esencialmente limitado de la función. Y, a continuación, $j^\infty_p$ va a enviar esta imagen a otra esencialmente limitado de la función en cada una de las $L^p$. Pero $k_p$ no lo hace. Por lo tanto $k_p\neq j^\infty_p\circ u$ cualquier $u:V\rightarrow L^\infty$. Por lo tanto $L^\infty$ no es un límite inversa del sistema.

Ahora, ¿existe un $f$ cuando $X$ tiene medida finita? Ver a esta pregunta de forma afirmativa. Por lo tanto $L^\infty$ no necesitas ser un límite inversa.