La relación entre las intersecciones y el resto en el teorema del resto

Question

El teorema polinómico del resto afirma que cuando un polinomio $P(x)$ de grado $> 0$ está dividido por $x-r$ ($r$ siendo algunos constante) el resto es igual a $P(r)$, es decir:
$$\begin{array}l If & \quad P(x) = (x-r)Q(x)+R \\ then & \quad P(r) = R \end{array}$ $ El álgebra y la representación gráfica tienen sentido; la pregunta es por qué. ¿Por qué es la relación funcional entre $r$y $R$ la función $P(x)$? ¿Cuáles son los mecánicos, por así decirlo, que producen este resultado? ¿O es simplemente un suerte algebraico "accidente"?

Answer 1

División larga polinómica da una solución de la ecuación

$$f(x)=q(x)g(x) + r(x)\,,$$

donde el grado de $r(x)$, es menor que $g(x)$.

Si tomamos $g(x) = x-a$ como el divisor, dando el grado de $r(x)$ $0$, es decir, $r(x) = R$:

$$f(x)=q(x)(x-a) + R\,.$$

Ajuste del $x=a $, obtenemos: $f(a)=R.$

Answer 2

Es más clara en congruencia idioma, $\ {\rm mod}\ \,x\!-\!r\!:\,\ x\equiv r\,\Rightarrow\ P(x)\equiv P(r).\ $ Esto es cierto debido a que los polinomios se compone de sumas y productos, y congruencias son las relaciones de equivalencia que son compatibles con las sumas y productos, es decir, $\, A\equiv a,\,B\equiv b\,\Rightarrow\, A+B\equiv a+b,\ AB \equiv ab.\,$ Ver las pruebas de la Congruencia de la Suma, del Producto y de los Polinomios siguientes Reglas (escritas para el anillo de enteros $\,\Bbb Z,\:$, pero también válida en cualquier polinomio de anillo (o cualquier anillo conmutativo).

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La Congruencia De La Suma De La Regla De $\rm\qquad\quad A\equiv a,\quad B\equiv b\ \Rightarrow\ \color{#c0f}{A+B\,\equiv\, a+b}\ \ \ (mod\ m)$

Prueba de $\rm\ \ m\: |\: A\!-\!a,\ B\!-\!b\ \Rightarrow\ m\ |\ (A\!-\!a) + (B\!-\!b)\ =\ \color{#c0f}{A+B - (a+b)} $

La Congruencia Del Producto Regla De $\rm\quad\ A\equiv a,\ \ and \ \ B\equiv b\ \Rightarrow\ \color{blue}{AB\equiv ab}\ \ \ (mod\ m)$

Prueba de $\rm\ \ m\: |\: A\!-\!a,\ B\!-\!b\ \Rightarrow\ m\ |\ (A\!-\!a)\ B + a\ (B\!-\!b)\ =\ \color{blue}{AB - ab} $

La Congruencia De Alimentación De La Regla De $\rm\qquad \color{}{A\equiv a}\ \Rightarrow\ \color{#c00}{A^n\equiv a^n}\ \ (mod\ m)$

Prueba de $\ $ es cierto para $\rm\,n=1\,$ $\rm\,A\equiv a,\ A^n\equiv a^n \Rightarrow\, \color{#c00}{A^{n+1}\equiv a^{n+1}},\,$ por el Producto de la Regla, por lo que el resultado de la siguiente manera por inducción en $\,n.$

El polinomio de la Regla de la Congruencia $\ $ Si $\,f(x)\,$ es el polinomio con el entero de los coeficientes, a continuación, $\ A\equiv a\ \Rightarrow\ f(A)\equiv f(a)\,\pmod m.$

Prueba de $\ $ Por inducción en $\, n = $ grado $f.\,$ si $\, n = 0.\,$ Else $\,f(x) = f(0) + x\,g(x)\,$ $\,g(x)\,$ un polinomio con coeficientes enteros de grado $< n.\,$ Por inducción $\,g(A)\equiv g(a)\,$ $\, \color{#0a0}{A g(A)\equiv a g(a)}\,$ por la Regla del Producto. Por lo tanto $\,f(A) = f(0)+\color{#0a0}{Ag(A)}\equiv f(0)+\color{#0a0}{ag(a)} = f(a)\,$ por la Suma de la Regla.

Cuidado con $ $ que tales reglas no necesita tener cierto para otras operaciones, por ejemplo, el exponencial analógico de arriba $\rm A^B\equiv\, a^b$ no es cierto en general (a menos que $\rm B = b,\,$ de lo que se deduce por applyimg el Polinomio Regla con $\,f(x) = x^{\rm b}).$