¿Qué pasa si cambiamos el axioma de la aritmética?

Question

Quiero experimentar con algunas ideas acerca de cómo cambiar los axiomas de arithemetic. (Usted sabe, como el cambio de los axiomas de la geometría Euclidiana, obtenemos la geometría no Euclidiana.)

¿Qué sucede cuando cambiamos las reglas de la suma ?

Usted sabe que :

• $\forall x\,\forall y\,(x + y = y + x)$
• $∀x\,∀y\,∃z\,(x+y=z)$

Si queremos cambiar eso en :

• $x + y$ no es siempre igual a $y + x$ de la misma manera como $x^y$ no es siempre igual a $y^x$
• $x + y = z$ si $x \geq y$

Sí, es bastante diferente. Por ejemplo, usted puede estar seguro de que si $x + y = z$$z \leq 2x$.

¿El cambio de un montón de cosas? No crea nuevos axiomas?

Answer 1

La primera idea (aritmética en la que además no es conmutativa) sin duda ha sido estudiado. En álgebra abstracta, un anillo es un objeto que tiene dos operaciones se le suele llamar "la suma y la multiplicación." En aquellos, la operación de suma es siempre necesario para ser conmutativa.

Pero hay un nombre para lo mismo sin el requisito de que $+$ ser conmutativa: se les llama cerca de los anillos.

---

La segunda idea que tenía es un poco más inusual, ya que restringe lo que las cosas pueden ser añadidos. Por lo general, si está definiendo un aritmética, desea $+$ a ser definido en todas partes. Sin embargo, las personas han estudiado algebraicas objetos con parcial de las operaciones.

La división en los números reales es (apenas) parcialmente definidos debido a que la división por cero no está permitida. Sé, sin embargo, hay mucho extranjero (más parcialmente?) operaciones definidas por ahí.

---

En realidad, en la relectura de la manera que usted declaró el segundo caso, hay un obvio ejemplo de una operación con esas propiedades: la división en la (positivo) de números naturales. Existe $c$ tal que $a/b=c$ si $a\geq b$. Esta operación no es conmutativa!

Yo habría usado la división de los números enteros, pero entonces tendría que haber cambiado a $|a|\geq|b|$.

Por desgracia, no creo que lo hace un buen candidato para una operación de adición aritmética: no estoy seguro de qué tipo de multiplicación de repartir sobre ella.