Evaluación $\lim_{x\rightarrow\pi}\frac{\sin x}{x^2-\pi ^2}$ sin L ' Hopital

Question

Necesito calcular el siguiente límite (sin utilizar L'Hopital - yo no he llegado a derivados aún):

$$\lim_{x\rightarrow\pi}\frac{\sin x}{x^2-\pi ^2}$$

Tenemos $\sin$ función en el numerador, así que parece que de alguna manera debemos hacer este similair a $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}$. Al elegir el $t=x^2-\pi ^2$ obtenemos $\lim_{t\rightarrow 0} \frac{\sin \sqrt{t+\pi ^2}}{t}$ por lo que es casi y desde allí no sé qué hacer. ¿Cómo seguir adelante? ¿O tal vez lo estoy haciendo mal y no se puede hacer de esa manera?

Answer 1

Elegir la sustitución $x - \pi = t$, $t \to 0$, tenemos $$\lim_{x \to \pi}\frac{\sin x}{x^2 - \pi^2} = \lim_{t \to 0}\frac{\sin(t + \pi)}{t(t + 2\pi)} = \lim_{t \to 0}-\frac{\sin t}{t(t + 2\pi)} = -\frac1{2\pi}$ $

Answer 2

Hacer la sustitución $\pi-x=t$, así que su límite se convierte en $$ \lim_{t\to0}\frac{\sin(\pi-t)}{-t(2\pi-t)} = \lim_{t\to0}\frac{\sin t}{-t(2\pi-t)} $ que es elemental.

Answer 3

Considerar que tenemos $x^2-\pi^2=(x+\pi)(x-\pi)$ y sabemos que $\sin(x-\pi)=-\sin(x)$ rendimiento: $$ \frac{-\sin(x-\pi)}{x-\pi}\cdot\frac1{x+\pi}\to -\frac1{2\pi}$ $

Answer 4

\begin{align} \frac{\sin(x)}{x^2 - \pi^2} = \frac{x}{x^2(1-\pi^2/x^2)} \prod_{n=1}^{\infty}\left(1 -\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right) = \frac{1}{x} \frac{1-x^2/\pi^2}{1-\pi^2/x^2} \prod_{n=2}^{\infty} \left(1 -\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right) \end{align} desde no disponible, consideramos el signo del numerador y denominador como % L'Hospital $x \to \pi^{+}$y $x \to \pi^-$ obtener\begin{align} \lim_{x\to \pi}\frac{1-x^2/\pi^2}{1-\pi^2/x^2} = -1 \end {Alinee el} y por lo tanto\begin{align} \lim_{x\to \pi }\frac{\sin(x)}{x^2 - \pi^2} = -\frac{1}{\pi} \prod_{n=2}^{\infty} \left(1 -\frac{1}{n^2}\right) = -\frac{1}{2\pi} \end {Alinee el}

Answer 5

$$\begin{align} =& \lim_{x \to \pi} \left[ \frac{\sin x - \sin \pi}{(x-\pi)(x+\pi)} \right] \\ =& \lim_{x \to \pi} \left[ \frac{\sin x - \sin \pi}{x-\pi} \times \frac{1}{x+\pi} \right] \\\end {Alinee el} $$

Tenga en cuenta que la fracción de la izquierda es casi la definición de la derivada de seno. Continuando,

$$\begin{align} =&\ \cos (x = \pi) \times \lim_{x \to \pi} \left[ \frac{\cos x}{x+\pi} \right] \\ =& -\frac{1}{2\pi} \end {Alinee el} $$