Deje $A: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ ser una transformación lineal. Estoy interesado en la "distorsión media", causada por la acción de $A$ sobre vectores.
Considerar la distribución uniforme en $\mathbb{S}^{n-1}$, y la variable aleatoria $X:\mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{R}$ definido por $X(x)=\|A(x)\|_2$.
Pregunta: ¿Cuál es la expectativa de $X$? (Hay un cerrado fórmula?)
El uso de SVD, el problema se reduce a $A$ ser una matriz diagonal con los no-negativo entradas. Así, la pregunta cantidades para el cálculo de $$\int_{\mathbb{S}^{n-1}} \sqrt{\sum_{i=1}^n (\sigma_ix_i)^2} $$ (and dividing by the volume of $\mathbb{S}^{n-1}$).
Esta pregunta está relacionada con estos dos, que pregunte acerca de la espera de la distorsión de la plaza de la norma (que es más fácil, ya que ninguna de las raíces cuadradas).
Para los problemas anteriores, el éxito de un enfoque fue el uso normal estándar de las variables, con el fin de generar una unidad de vector aleatorio (ver aquí). Sin embargo, no parece ayudar en este caso.
