Supongamos que $R$ es un anillo en el que cada elemento inversible izquierdo es inversible. ¿Esta condición implica que cada matriz inversible izquierdo en $\mathrm{M}_{n\times n}(R)$ es necesariamente inversible?
Respuesta
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(Como user26857 criado en su comentario) un anillo para que $xy=1$ implica $yx=1$ se llama Dedekind finito o directamente finito. Esto se puede confirmar fácilmente que es equivalente a decir "a la izquierda de cada elemento invertible es invertible."
Ejercicio 1.18 en Lam Conferencias sobre los módulos y anillos es mostrar que existe un Dedekind finito anillo de $R$ tal que $M_2(R)$ no es Dedekind finito. Una solución para que aparezca en la solución del libro de Ejercicios en los módulos y anillos en la página 10.
Sin verificar todos los detalles, la construcción sigue como esta. Deje $w,x,y,z,s,t,u,v$ ser símbolos, y deje $\begin{bmatrix}s&u\\t&v\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x&y\\z&w\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$ bajo formal de la multiplicación de la matriz. Esto nos provee con cuatro de las relaciones entre los símbolos y, a continuación, nos fijamos en el ring $R$ que es el cociente de la libre $k$-álgebra en estos ocho símbolos sujeto a dichas relaciones.
Para finalizar, se muestra que el producto de las matrices en el orden inverso al no conocer la identidad (por lo $M_2(R)$ no es Dedekind finito), y que $R$ es un dominio (por lo que es Dedekind finito.)
Si prefieres aprender directamente de la fuente original, Lam créditos a este artículo:
Shepherdson, J. C. Inversas y divisores de cero en la matriz de los anillos. Proc. Londres Matemáticas. Soc. (3) 1, (1951). 71--85. MR0041831 (13,7 i)
