¿Existen un número infinito de soluciones entero $(x,y,z)$ $x^x\cdot y^y=z^z$ donde $1\lt x\le y$?

Question

Pregunta : ¿existe un número infinito de entero-soluciones de $(x,y,z)$ $x^x\cdot y^y=z^z$ donde $1\lt x\le y$ ?

Motivación : Después de luchar para encontrar una solución, sólo tengo una solución, que es $$(x,y,z)=(1679616, 2985984, 4478976).$$

En la siguiente, voy a escribir cómo llegué a esta solución.

Dejando $d$ ser el máximo común divisor de a $x,y,z$, podemos representar $$x=ad, y=bd, z=cd$$ donde $a,b,c$ son coprimes el uno con el otro. Entonces, tenemos $$d^{a+b-c}\cdot a^a\cdot b^b=c^c.$$

En la siguiente, vamos a considerar sin la condición de $x\le y$. Aquí, supongo

$$a=2^m, b=3^n, a+b-c=1.$$

(Como resultado, esta suposición).

Entonces, tenemos $$d=\frac{c^c}{2^{ma}\cdot 3^{nb}}.$$

Por lo tanto, dejando $c=2^k\cdot 3^l$, si $$kc\ge ma=m\cdot 2^m, lc\ge nb=n\cdot 3^n,$$ a continuación, $d$ es un número entero.

Desde $(m,n)=(4,2)$ satisface las condiciones anteriores, entonces obtenemos $d=2^8\cdot 3^6=186624.$ por lo tanto podemos obtener $$x=9d=2^8\cdot 3^8=1679616, y=16d=2^{12}\cdot 3^6=2985984, z=24d=2^{11}\cdot 3^7=4478976.$$ Tenga en cuenta que aquí me intercambiar $x$$y$.

P. S : me sorprendió para obtener esta solución porque tengo esta casi por casualidad. Así que, no sé las otras soluciones. Si usted tiene alguna información útil, por favor, enséñame.

Answer 1

Ke Zhao la búsqueda de estas soluciones: $n\in\mathbb N,$ $$x=2^{2^{n+1}(2^n-n-1)+2n}(2^n-1)^{2(2^n-1)},\\ y=2^{2^{n+1}(2^n-n-1)}(2^n-1)^{2(2^n-1)+2},\\ z=2^{2^{n+1}(2^n-n-1)+n+1}(2^n-1)^{2(2^n-1)+1}.$$

Usted puede encontrar que estas soluciones satisface $4xy=z^2,$ W. H. Molinos demostrado que

1)Si $4xy=z^2$ luego Ke Zhao son las soluciones a todos ellos.

2)Si $4xy>z^2$ luego no tiene soluciones.

3)Si $4xy<z^2$ entonces no sólo existen fintite muchas soluciones.

De ahí tal vez Ke Zhao ha dado todas las soluciones a$x^xy^y=z^z,$, pero esto no ha sido comprobado.

Answer 2

Acabo de recibir el siguiente en una manera similar a como lo de arriba.

La respuesta es Sí; no existe un número infinito de soluciones.

Dejando $p,q$ ser coprime enteros con cada uno de los otros, supongo $$a=p^m, b=q^n, a+b-c=1, c=p^k\cdot q^l, kc\ge ma, lc\ge nb.$$

Aquí, llegué a la siguiente debido a una ecuación relacional $N^2+(N-1)^2=2N(N-1)+1$.

$$p=N-1, m=2, N=2^s, q=2, n=2s, k=1, l=s+1,$$$$ a=(2^s-1)^2, b=2^{2}, c=2^{s+1}(2^s-1).$$

Ahora, sabemos que si $s\ge 2$, a continuación, estos satisfacen las condiciones anteriores. También, tenga en cuenta que el $s=2$ de los casos es el caso que he encontrado.

Por lo tanto, obtenemos $$d=2^u\cdot p^v, u=2^{s+1}(2^s-s-1), p=2^s-1, v=2(2^s-1),$$$$ x=2^u\cdot p^{v+1}, y=2^{2s+u}\cdot p^v, z=2^{u+s+1}\cdot p^{v+1}.$$

Usted puede tomar todo entero mayor que o igual a$2$$s$, entonces ahora sabemos que existe un número infinito de soluciones. Ahora la prueba se ha completado.

$P.S.$ $s=3$ , Obtenemos $$p=7, a=49, b=64, c=112, u=64, v=14,$$$$ x=2^{64}\cdot 7^{16}, y=2^{70}\cdot 7^{14}, z=2^{68}\cdot 7^{15}.$$

Tenga en cuenta que $z=2^{68}\cdot 7^{15}\approx 10^{33}.$

Estoy interesado en encontrar todas las soluciones, que parece muy duro.