¿Si las entradas de una matriz semidefinite positiva se encogen individualmente, la norma del operador siempre disminuirá?

Question

Dado un positivo semidefinite matriz $P$, si queremos reducir la escala de sus entradas de forma individual, su operador de la norma siempre disminuyen? Dicho de otra manera:

Supongamos $P\in M_n(\mathbb R)$ es positivo semidefinite y $B\in M_n(\mathbb R)$ $[0,1]$- de la matriz, es decir, $B$ tiene todas las entradas entre el $0$ $1$ (nota: $B$ no es necesariamente simétrica). Deje $\|\cdot\|_2$ denota el operador de la norma (es decir, el mayor valor singular). Es cierto que siempre $$\|P\|_2\ge\|P\circ B\|_2?\tag{$\ast$}$$

De fondo. Me encontré con esto de la desigualdad en la otra pregunta. Después de haber hecho un experimento numérico, yo creía que la desigualdad es cierto, pero yo no había sido capaz de demostrarlo. Si $(\ast)$ resulta ser cierto, podemos obtener inmediatamente el análogo de la desigualdad de $\rho(P)\ge\rho(P\circ B)$ para los radios espectrales debido a $\rho(P)=\|P\|_2\ge\|P\circ B\|_2\ge\rho(P\circ B)$.

Observaciones. Hay mucha investigación sobre desigualdades sobre espectral de radios o el operador de las normas de Hadamard de productos. A menudo, todos los multiplicands en cada producto se semidefinite o todos ellos son no negativos. Las desigualdades como los dos aquí, que involucran mezclas de semidefinite matrices con no negativa de matrices, rara vez se ven.

He probado el de la desigualdad de la $n=2,3,4,5$ con 100.000 azar ejemplos para cada una de las $n$. No hay contraejemplos se han encontrado. El semidefiniteness es condición imprescindible. Si se la quitan, contraejemplos con simétrica $P$s puede obtenerse fácilmente. La desigualdad es conocido para ser verdad si $P$ es también entrywise no negativo. Por lo tanto, si usted desea llevar a cabo un experimento numérico para comprobar $(\ast)$, asegúrese de que el $P$s de generar positivos y negativos de las entradas.

Una de las dificultades que me encontré en la construcción de una prueba es que yo no podía hacer uso de la submultiplicativity de que el operador de la norma. Tenga en cuenta que el empate se produce si $B$ es el todo-uno de la matriz, que ha espectral de la norma $n\,(>1)$. Si de alguna manera se las arreglan para extraer un factor como $\|B\|_2$$\|P\circ B\|_2$, factor que puede ser demasiado grande. Por una razón similar, el triángulo de la desigualdad también se ve inútil.

Answer 1

No siempre es cierto.

La siguiente matriz es positiva semidefinite con norma $3$: $$ P: = \left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & -1\\ 1 & -1 & 2\\ \end{array}\right) $$ uso $B$ para empujar hacia fuera el %#% de #% y conseguir $$ P \circ B = \left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 0\\ 1 & 0 & 2\\ \end{array}\right), $$ que es positivo semidefinite con norma $-1$.

Answer 2

Creo que esto es cierto. He aquí un intento de que se ve potencialmente fructífera:

El uso de la propiedad dada aquí. Que es, tenga en cuenta que $$ \DeclareMathOperator{\tr}{tr} \| P \circ B\| = \sup_{\|x\| = \|s\| = 1} x^*(P \circ B)y = \sup_{\|x\| = \|s\| = 1} \tr (D_x P D_y B^T) = \\ \sup_{\|x\| = \|s\| = 1} \langle D_x P D_y,B \rangle \leq \sup_{\|x\| = \|s\| = 1} \left(\sum_{i,j}|(D_x P D_y)_{ij}|\right)\max_{i,j}|B_{ij}| $$ aquí, $\langle \cdot , \cdot \rangle$ es una entrada sabio dot-producto, y $D_x = \operatorname{diag}(x_1,\dots,x_n)$. A partir de aquí, tal vez usted puede utilizar el hecho de que $P$ puede ser escrito como una combinación convexa de la PSD rango $1$ matrices. Quizás es útil tener en cuenta que $D_x vv^T D_y = (x \circ v) (y \circ v)^T$.